Объемы тел 11 класс
Цели урока:
- Ввести понятие объема тел, его свойств, единиц измерения объёма.
- Повторить с учащимися формулы для нахождения объёма параллелепипеда, куба.
- Познакомить учащихся с объёмами прямой призмы, пирамиды, цилиндра и конуса, руководствуясь наглядно-иллюстративными соображениями.
Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке,
все науки стремятся к математике.
Д. Сантаяна
- Геометрия есть искусство правильно рассуждать на неправильных чертежах.
Пойа Д.
Площадь
Площадь многоугольника- это положительная величина той части плоскости , которую занимает многоугольник.
Объем
Объем тела – это положительная величина той части пространства , которую занимает геометрическое тело.
Свойства объемов:
1. Равные тела имеют равные объемы
Свойства площадей :
1. Равные многоугольники имеют равные площади
F 2
F 2
F 1
F 1
2 . Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников , то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
S F =S F 1 +S F 2 +S F 3 + S F 4
2. Если тело составлено из нескольких тел , то его объем равен сумме объемов этих тел.
V F =V F 1 +V F 2
F 4
F 2
F 3
F 1
Площадь
За единицу измерения площадей берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.
1 км 2 , 1 м 2 , 1 дм 2 , 1 см 2 , 1 мм 2 , 1 а, 1 га и т.д.
Объем
За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков.
Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см 3.
Аналогично определяют
1 м 3 , 1 дм 3 , 1 см 3 , 1 мм 3 и т.д.
1
1
1
1
1
Площадь
Равновеликими называются геометрические фигуры, имеющие равные площади
Объем
Равновеликими называются тела, объемы которых равны
V F =V F1
S F =S F1
F 1
F 2
F 1
F 2
В стереометрии рассматриваются объемы многогранников и объемы тел вращения.
Объем прямоугольного параллелепипеда:
а-длина
b -ширина
с- высота
V=a . b . c
S осн = a . b
V=S осн . H
Объем куба:
V=a 3
V=S осн . H
S осн = a 2
а
а
а
Объем прямой призмы:
V парал = S осн . H
S осн =2 . S ABC
По свойству объемов
V парал = 2 . S AB С . H
V призмы = ( V парал ) :2
V призмы = ( 2 . S AB С . H) : 2
V=S осн . H
Объем пирамиды:
Достроим пирамиду
ABCS до призмы. Достроенная
призма будет состоять из 3
пирамид - SABC, SCC 1 B 1, SCBB 1
У 2 и 3 пирамиды- SC - общая,
тр CC 1 B 1 = тр CBB 1
У 1 и 3 пирамиды- С S- общая,
тр SAB = тр BB 1 S
V 1 =V 2 =V 3
V призмы= 3 V пирам
V пирамиды = 1 V призмы
3
V пирамиды = 1 S осн . H
3
Объем цилиндра:
Обозначения:
R - радиус основания
H - высота
L - образующая
L=H
V - объем цилиндра
V = П R 2 H - объём
V= S осн . H
S осн = П R 2
L
Конус:
ОБОЗНАЧЕНИЯ:
R - радиус основания
L - образующая конуса H – высота
V – объем
V= 1 П R 2 Н
3 - объём
Это интересно:
В геологии существует понятие "конус выноса". Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород, вынесенных горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
В биологии есть понятие "конус нарастания". Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
"Конусами" называется семейство морских молюсков подкласса пережнежаберных. Укус конусов очень опасен. Известны смертельные случаи.
В физике встречается понятие "телесный угол". Это конусообразный угол, вырезанный в шаре.
Проверь свои знания:
- Сформулируйте понятие объема.
- Сформулируйте основные свойства объемов тел.
- Назовите единицы измерения объема тел.
- Назовите формулу для измерения объема
- прямоугольного параллелепипеда;
- объема куба;
- объем прямой призмы;
- объем пирамиды;
- объем цилиндра и объем конуса.
- Изменится ли объем цилиндра, если радиус его основания увеличить в 2 раза, а высоту уменьшить в 4 раза?
V = П R 2 H V= П (2R) 2 . H = П 4R 2. H = П R 2. H
4 4
- Основаниями двух пирамид с равными высотами являются четырехугольники с соответственно равными сторонами. Равны ли объемы этих пирамид?
- Из каких тел состоит тело, полученное вращением равнобедренной трапеции вокруг большего основания?
Домашняя работа:
- Выучить формулы объемов тел, определения.
- № 648(а,в), № 685, № 666(а,в)
Закрепление пройденного материала:
Задача №1
Три латунных куба с ребрами 3см, 4 см и 5 см переплавлены в один куб. Какое ребро у этого куба?
+ + =
?
a 1
a 2
a 3
Решение:
V F =V F 1 +V F 2 + V F 3
V F 1 =3 3 =27 (см 3 )
V F 2 =4 3 =64 (см 3 )
V F 3 =5 3 =125 (см 3 )
V F = 27+64 +125=216 (см 3 )
V F =а 3
а 3 =216 (см 3 )
а= 6 (см)
Ответ: ребро куба равно 6 см.
Задача №2
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна 12 см, а сторона основания 13 см.
Решение:
V= 1 S осн . H
3
ABCD - квадрат
S ABCD = a 2
S ABCD = 13 2 =169
V= 1 169 . 12 =676 (см 3 )
3
Ответ : Объем правильной четырехугольной пирамиды равен 676 см 3
Задача №3
Найдите объем цилиндра, если радиус его основания равен 6см, а высота 8 см.
Решение:
V = П R 2 H
V =П . 6 2 . 8 =288П (см 3 )
Ответ: объем цилиндра равен 288 П см 3 .
