Исторические сведения о числах

Исторические сведения о числах

Основы и методика начальной математики

Несколько лет назад с цифрами мало дело немного людей: ученые, сборщики податей, купцы и тому подобное. Сейчас же цифры постоянно напоминают нам о себе. Отрезки времени, температура воздуха, номер дома и квартиры, номер школы и прочее - все обозначается цифрами. Цифры - это символы чисел, знаки, с помощью которых числа передают на письме. Сначала родились числа, а уже потом - цифры. Сначала люди научились считать, "изобрели" число, а потом нашли способ записывать результаты счета.

Как же возникла счет? С давних времен люди подбирались ответа на этот вопрос. И у разных народов ответ была неодинакова. Древние греки, например, считали, что людей научил считать Прометей. Тот самый, который по легенде похитил у богов огонь и отдал его людям. Вообще большинство народов появление числа связывала с "деяниями" богов или мифических героев. Правда, иногда эту заслугу приписывали людям, которые на самом деле жили когда-то. Авторы древнерусских рукописей, например, считали, что счет изобрел Пифагор - древнегреческий математик, живший в VI веке до нашей эры. Пифагор был великим математиком, но люди умели считать задолго до VI века! И не просто умели считать, а и имели ученых, которые писали математические книги. Древнейшая математическая книга дошла до нас со второго тысячелетия до нашей эры.

Доказано, что было время, когда люди обходились без чисел. Например, жители австралийских джунглей, желая обменяться продуктами, поступали так. Люди одного племени клали на землю вязки съедобного корни, а второго - напротив каждой такой вязки ставили корзину с рыбой. Установив соответствие этих множеств (между связками и корзинами), производили обмен.

С развитием человечества счет становилась потребностью, а пальцы рук и ног долго были орудием счета. Как люди использовали пальцы для счета, покажем на примере индейцев племени таманака (Южная Америка).Вместо "один" индейцы говорят "палец" и обязательно показывают палец. Названия некоторых других чисел этого племени представлено в таблице.

          Еще и сейчас некоторые отсталые народы и малые дети пользуются пальцами при счете.

Есть основания думать, что египтяне лечили с помощью счетной доски с начертанными на ней полосами. На каждой полосе раскладывали камешки - их было не больше девяти. Каждый раз, когда приходилось класть десятый камень, с этой полосы сбрасывали все камушки на соседнюю, правую, полосу клали один камень. Таким •ш ум, египтяне считали, как мы. Можно полагать, что их счетная доска была прообразом нашей счеты.

Умение считать и записывать результаты счета пришло к людям с жизненным опытом. Именно жизни побуждало человека к этому.

Сначала количество передавали с помощью рисунка. К примеру, чтобы показать число 1, рисовали 1 палец, 2 - два пальца, 10 - соединены руки, 100 - свернутую мерную веревку, 1000 - цветок лотоса. Вообще цветок лотоса был символом большого числа. Этот способ записи чисел применяли в древних странах - Египте и Китае. Греки еще в V веке до нашей эры назвали такие знаки иероглифами - "священным резьбой".

С развитием письменности, в частности буквенного письма, числа стали записывать словами. Сначала записывали полностью, потом сокращенно, используя только первую букву числительного. Древние математики пришли к выводу: это не очень удобно, и вот в V веке до нашей эры зарождается новая, алфавитная система нумерации: первыми девятью буквами обозначали единицы (от 1 до 9), следующие девять букв использовались для обозначения десятков (от 10 до 90), а те, что шли за ними, девять букв - для обозначения сотен (от 100 до 900).

Однако в только что упомянутых систем нумерации - иероглифической и алфавитной - был один весьма существенный недостаток: иероглифические знаки и буквы не имели четко определенного места - позиции. Такая запись очень осложнял вычисления. Правда, еще в древнем Вавилоне, где пользовались своеобразным письмом - клинописью и где числа обозначали теми же значками-клиньями, уже пытались закрепить за единицами, десятками, сотнями определенное место. До этого вавилонян заставляла ограничена возможность их письма. Клинцы является клинцы, много их не придумаешь! Вот и додумались закрепить за определенными разрядами чисел определенное место. Значительно позже, со второго века новой эры, эту попытку самостоятельно начали развивать в Греции, а вскоре позиционная запись чисел совершенствуют в Индии. Именно индийская система легла в основу нашей нынешней системы счисления.

Систему счисления, основанную на обозначении всех натуральных чисел десятью знаками - цифрами, впервые описал и применил в IX веке талантливый сын узбекского народа Магомет сын Мусы из Хорезма в рукописи "Арифметика индорум".

В Европе новая система нумерации стала известна в начале XIII века благодаря итальянскому ученому Леонардо Пизанском, который описал ее в 1202 году в своем труде "Книга вычислений". Но утвердилась эта система в Западной Европе значительно позже - в XV-XVI веках.

На Руси о арабско-индийскую систему знали еще в XIII веке. Так на одном найденном колоколе, изготовленном в те времена, находим эту новую нумерацию. В начале XVII века этими цифрами уже нумеруют страницы русских книг, их чеканят на золотых монетах. А в середине века ими пользуются в рукописных трудах. В 1703 году в "Арифметике" Леонтия Магницкого все арифметическое учение изложенное на основе позиционной системы счисления, и только страницы учебника обозначены славянской нумерацией.

       Как возникло само слово цифра? Происходит оно от арабского слова "сифр", что в переводе означает "пустое место". Вещь, и им, что индейцы не имели чем обозначать отсутствие разрядного Числа и там, где сейчас стоит ноль, ставили точку, которую называли "сифр". Когда же появился ноль, его также стали называть цифрой. Так было до XVIII века, пока он получил свое имя под латинского слова "нулюс", что означает "никакой". А цифрами пали называть символы чисел вообще.

Названия десяти цифр у всех славян очень похожи, их можно пи-одеяния, когда говорят чех, поляк, болгарин, серб, украинец, россиянин, белорус. А вот названия больших чисел различаются заметно, потому что Г появлялись позже. И каждый народ вырабатывал свои наименования. Мы говорим, например, двадцать пять, а чехи - пять и двадцать; мы говорим сорок, а поляки - чтердзесци (четыре десятка).С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп собирателей ягод или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения. Правда, при этом добавлялись не числа, а совокупности (или, как говорят математики, множества) предметов, но операция сложения чисел как раз описывает добавление совокупностей предметов. А когда из собранных орехов часть использовалась в пищу, люди выполняли вычитание - запас орехов уменьшался.

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянного зерна. Говорили: собранный урожай "сам - двадцать" (в двадцать раз больше собрали, чем посеяли), сам - сорок" и т.д. Наконец, когда добытое на охоте мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми членами племени, выполняли операцию деления.

Сами названия этих операций показывают, с какими действиями над предметами они связаны. Но должны были пройти тысячелетия, пока люди поняли, что складывать, вычитать, умножать и делить можно не сами совокупности предметов, а числа.

Знаки арифметических действий, равенства и неравенства появились в таком виде, как мы их знаем, с распространением в Европе арабского написания чисел. Конечно, не все сразу.

         Первыми родились знаки сложения "+" и вычитания их конце XV века применил лейпцигский профессор Ян Видман в произведении "быстрый и красивый счет для всего купечества".

Но люди умели вычитать и прибавлять и раньше! Как же обозначали эти действия на письме? У разных народов по-разному. Египтяне, например, когда хотели добавить два числа, схематично рисовали две человеческие ноги, которые "двигались" вперед, а при вычитании ступни этих ног направляли в обратном направлении. У древних греков добавление обозначали вертикальной чертой, а вычитание - значком, похожим на кому. В Европе действие добавление еще обозначали буквой "г" или "Р" (начальная буква латинского слова "плюс" - больше), а вычитание "т" или "М" (от латинского "минус" - меньше). Однако эти обозначения не прижились.

Знак умножения "х" - навскресный крест - находим в работе английского математика Уильяма Оутреда "Математический ключ" (1631 год). Впоследствии, в 1698 году, выдающийся немецкий математик Готфрид-Вильгельм Лейбниц действие умножения предложил передавать точкой (•), а чуть ранее, в 1684 году, внедрил две точки (:) для обозначения деления. Правда, эти знаки получили всеобщее признание и получили распространение только в XVIII веке благодаря учебникам немецкого математика Христиана Вольфа.

Знак равенства "=" ввел английский ученый Роберт Рекорд еще в XVI веке. По его мнению, ничто не может передать равенство так, как два одинаковых параллельных отрезка. До него в математике пользовались другими знаками равенства. Так древнегреческий математик Диофант отношение равенства обозначал буквой "и" (начальная в слове "изос" - равный). Индийские и арабские математики, а также большинство европейских, чаще всего, вплоть до XVII века, употребляли для этого полностью или сокращенно слово "равный".

Знаки "" для обозначения отношений неравенства систематически. начал применять английский математик Томас Гарриот. Его книга, где он принимает эти знаки, увидела свет в 1631 году.

Скобки круглые находим в математических сочинениях первой половины XV века. До их появления ставили черточки над выражением, которого они касались, или же под ним, что было очень неудобно при печати.

          Знак деление и дроби - горизонтальная черточка - впервые встречается у упоминавшегося уже нами итальянского математика Леонардо Пизанского, который, видимо, позаимствовал его из арабских рукописів. Для удобства в печатании англичанин Август де Морган заменил горизонтальную черту навскісною.

Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила нашу "арифметика" (от греческого arithmos, что значит "число").