Урок по геометрии 9 класс. Теорема косинусов.

Открытый урок. Разработка урока геометрии в 9 классе.

Тема урока.

« Решение треугольников. Теорема косинусов».

Ключевое понятие: Точка зрения. Позиция.Perspective

Дополнительные (Сопутствующие) понятия: Измерение. Обобщение.Measurement, generalization

Контекст : PERSONAL AND CULTURAL EXPRESSION

НАШЕ САМОВЫРАЖЕНИЕ КАК ЛИЧНОСТЕЙ И КАК НОСИТЕЛЕЙ КУЛЬТУРЫ

Формулировка основной идеи исследования:

Перспектива использования подходящих теоритических знаний помогает учащимся обосновывать то, что мы открываем путем измерений , наблюдений, обобщений.

На уроке у уч-ся происходит формирование способностей к новому способу действия, а именно при рассмотрении проблемной ситуации учиться подтверждать или опровергать выдвигаемые гипотезы.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Место урока – второй урок по данной теме

Цели уроков:

Образовательные:

усвоение всеми учащимися обязательного уровня обучения стандартного минимума ФГОС по теме;

формирование и совершенствование между предметных умений обобщать путем сравнения, постановка и решение проблем, оперирование уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами, рассуждение по аналогии;

развитие психологических характеристик личности учащихся: способности к абстрагированию, выдвижению гипотез, формулированию проблем;

развитие психических свойств: память, вербальная и образная, произвольное внимание, воображение.

Развивающие:

определение зоны ближайшего развития учащихся в ходе решения задач с использованием теоремы косинусов;

определение результативности и эффективности подготовительного этапа урока к доказательству теоремы косинусов через анализ и обобщение домашней работы;

определение возможности конструирования познавательного процесса( формыработы: индивидуальная, парами, группами, фронтальная).

Обучающая цель урока:

Знание: повторить ранее изученный теоретический материал, изучить и знать формулировку теоремы косинусов и её следствий, учиться делать теоретические обобщения.

 Развивать логику мышления при решении специально подобранных задач.

 Воспитывать потребность в доказательстве высказанной гипотезы.

Умение : при решении этих задач требуется применять знания для усложненной ситуации, иметь достаточно высокий уровень развития вычислительных навыках.

Постановка проблемы: какое количество элементов должно быть известно, чтобы задача была решена по теме «Решение треугольников». Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника:

определить вид треугольника по трем известным сторонам;

нахождение медиан треугольника;

применение Теоремы косинусов к решению задач вне зависимости от формы многоугольников. Нахождение связи диагоналей параллелограмма с его сторонами.

Навыки :при решении этих задач требуется применять знания для усложненной ситуации, иметь достаточно высокий уровень развития вычислительных навыках, навыки пользователя в системе интернет и программным обеспечением.

Задачи личностного развития:

организовать ситуации для:

самоопределения учащихся на прогнозируемый результат;

познавательной деятельности;

развития рефлексивных способностей;

создать условия для:

развития коммуникативных способностей учащихся;

развития мышления учеников, умения аргументировать, доказывать;

Формировать основные учебные компетенции.

Развивать умение обобщать и анализировать учебный материал.

Развивать интеллектуальные способности; навыки работы в группах; активизировать интерес к учебному предмету.

Метапредметные навыки (ATL) Навыки критического мышления

-Собирать и систематизировать значимую/релевантную информацию для построения рассуждения /аргумента.

-Пересматривать свое понимание на основе новой информации, аргументации и доказательств.

-Проверять, идентифицировать , оценивать препятствия, недостатки, ограничения метода/способа/подхода, обобщения и выводы.

- оценивать свидетельства и аргументы;

- делать разумные умозаключения и обобщения;

- проверять обобщения и выводы;

- пересматривать свое мнение, основываясь на новых фактах и свидетельствах;

- формулировать фактические, тематические и спорные вопросы;

- рассматривать идеи с разных точек зрения

-Распознавать невысказанные допущения и необъективность.

Оборудование и материалы: компьютер, мультимедийная установка, интерактивная доска, доска ,инструменты, мел.

Краткий план урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация ведущих знаний и способов действий.

3. Мотивация и целеполагание.

4.Самостоятельное применение знаний. (Мини-с/р).

5. . Рефлексия. Подведение итогов урока.

Ход урока.

1 этап. (Фронтальная работа с классом)

1. Начало урока. Организационный момент устанавливает личностный контакт учителя с учениками через формирование целей урока, их взаимного принятия и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достигается анализом успешной работы учащихся с теоремой косинусов и ее применением к решению задач.

Приветствую учащихся, проверяю готовность рабочего места школьников к учебному занятию. Создаю настрой на работу, объявляю учащимся, что в течение урока они оценивают себя.

2.Сообщение темы, цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности.

. Цели урока - изучить формулировку и доказательство теоремы косинусов, научить учащихся применять теорему при решении задач, закрепить полученные знания при тестировании. Урок ориентирован на индивидуальную, парную, групповую деятельность учащихся. Изучение нового материала предусматривается за счет использования совокупности разнообразных методов, средств обучения, педагогических технологий. Материал урока направлен на развитие самостоятельных навыков работы у учащихся.

1) На прошлом уроке мы рассмотрели док-во Теоремы косинусов « векторным способом».

Постановка проблемы: какое количество элементов треугольника( из шести) должно быть известно, чтобы задача была решена по теме «Решение треугольников». Построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника:

2)находить длину третьей стороны тр-ка по известным двум сторонам и углу между ними.

3)по формуле можно находить значение косинуса угла тр-ка и угла тр-ка, используя таблицу Брадиса.

4)вычислять косинус большего угла тр-ка с известными длинами трех сторон и определить вид тр-ка.

5) нахождение высот тр-ка по известным трем сторонам тр-ка с выводом формулы.

Презентация. Слайд1-6

2 этап. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний. Актуализация знаний учащихся, выдвижение гипотезы:

определение результативности и эффективности к доказательству теоремы косинусов через универсальный способ - «координатный способ» делать разумные умозаключения и обобщения домашней работы.

1. ) Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости. Док-во Теоремы косинусов. Слайд 7.

2) Следствие№2. Слайд 8-9

3) записать решение дом. задачи новым способом. Слайд 10.

Вопрос для обсуждения. Как можно ответить на этот вопрос без вычисления косинуса наибольшего угла? Вспоминается теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника. (В треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона).ВЫВОД.

Пусть с – наибольшая сторона

– если с²2 + b², то треугольник остроугольный;

– если с² = a² + b², то треугольник прямоугольный;

– если с² a² + b², то треугольник тупоугольный.

4) решить задачу, используя следствие, что позволяет создать новую модель решения задачи: определить вид треугольника по трем сторонам.

5) Можно ли сказать, что теорема Пифагора-это частный случай теоремы косинусов? Слайд 11.

3этап. Создание проблемной ситуации, ее разрешение. Мотивация и целеполагание.

1)Проблемная задача повышает мотивацию учеников на дальнейшую познавательную деятельность. Организуется ситуация для постановки цели урока и прогнозирования результатов занятия, например, построить модель, определить тип задачи, исследовать отношения и связи между элементами треугольника, необходимо выяснить универсальный способ нахождения длины медианы треугольника по известным длинам трех сторон тр-ка.

Решение задачи. Задача. Найти медианы треугольника, если известны три стороны треугольника. Общее док-во с выводом формул. Слайд 12.

2) Задача с данными. Решение по группам.(3) слайд 13.

3 ) Применение Теоремы косинусов к решению задач вне зависимости от формы многоугольников. Нахождение связи диагоналей параллелограмма с его сторонами.

Задача в общем виде. Слайд 14.

4)Задача . Найти диагональ параллелограмма, если известны его стороны и другая диагональ. слайд 15.

4 этап. Закрепление. Мини с/р. Сайт .Решу ОГЭ математика 2016. Задача13. №21,22. (индивидуальная работа, последующей проверкой).

5этап. Геометрический симпозиум завершен. Подведем итог этого дня. слайд 16.

Итог урока: Я узнал! Я научился!

Все понял. Могу рассказать, объяснить , применить на практике

. Обобщенную теорему Пифагора – теорему косинусов , она гласит: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Следствия: определять вид треугольника по трем известным сторонам, найти медиану тр-ка, диагональ параллелограмма.

Последний урок триместра домашнего задания нет.

Геометрический симпозиум. “Теорема косинусов и её практическое применение”

О Хайям:
“ Расскажи мне, и я забуду,
Покажи мне, и я запомню,
Дай мне сделать самому, и я пойму.”

Доказательство теоремы косинусов

Формулировка теоремы

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

ИЛИ

BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB . AC . cos A

Доказательство: векторный способ

Пусть ABC – данный треугольник. Докажем, что BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB . AC . cos A.

__ __ __ Имеем векторное равенство BC = AC – AB.

__ __ __ __ __ __ __ Возведя это равенство скалярно в квадрат, получим, что BC 2 = (AC – AB) 2 = AB 2 + AC 2 – 2AB . AC. . _ _ Из утверждения а 2 = |a| 2 = а 2 и теоремы о скалярном произведении векторов:

Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Имеем, BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2AB . AC . cos A.

Теорема доказана.

Следствие теоремы косинусов

Знак произведения AC . cos A зависит от угла A : “+”, если угол A острый; “-”, если угол А тупой.

Это следует из утверждения, что cos (180 0 – α) = -cos α.

Также это можно понять из приведённой таблицы значений косинусов некоторых углов.

Отсюда получается следствие:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон “±” удвоенное произведение одной из них на проекцию другой. Знак “+” надо брать, когда противолежащий угол тупой, а знак “-”, когда острый.

Задача

Дано:

ABC – треугольник

AB = 3, CA = 5

Угол САВ = 120 0

Найти: BC.

Решение:

Из теоремы косинусов следует, что CB 2 = СА 2 + АВ 2 – 2АВ . СА . cos A.

Подставляем значения:

CB 2 = 5 2 + 3 2 - 2 . 3 . 5 . cos 120 0 =

= 25 + 9 - 30/-2 = 49

Отсюда СВ = 7.

Ответ: 7.

Теорема. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус

угла между ними.

Задача.

а)

Решение:

а)

треугольник тупоугольный

б)

треугольник прямоугольный

в)

треугольник остроугольный

Пусть наибольшая сторона треугольника, тогда если:

, то треугольник остроугольный
, то треугольник прямоугольный
, то треугольник тупоугольный

Теорема Косинусов. Обобщенная теорема Пифагора

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними.