Угол между касательной и хордой.

ПЛАН-КОНСПЕКТ ОТКРЫТОГО УРОКА

ПО ГЕОМЕТРИИ

11 КЛАСС

Дата проведения: 10.03.2016 г.

Тема урока: Угол между касательной и хордой. (Слайд 1)

Цель урока:

• Доказать теорему об угле между касательной и хордой. Создать содержательные и организационные условия для применения школьниками комплекса знаний для решения задач.

• Развивать личностно-смысловые отношения учащихся к изучаемому предмету. Способствовать формированию коллективной и самостоятельной работы, формировать умение четко и ясно излагать свои мысли.

• Прививать учащимся интерес к предмету через совместную творческую работу; формировать умение аккуратно и грамотно выполнять геометрические построения и математические записи.

Оборудование:

1. Интерактивная доска

2. Презентация

Ход урока.

1. Организационный момент. (1 мин)

Проверить готовность учащихся к уроку, отметить отсутствующих.

1. Постановка цели. (2мин)

В тетради запишите дату, тему урока. На уроке мы повторим теоретические знания по теме «Углы, связанные с окружностью». Докажем теорему об угле между касательной и хордой, научимся применять её к решению задач различных типов.

1. Актуализация знаний. (7 мин) (Слайд 2-9)

Диктант (с последующей проверкой). Закончить прочитанное предложение.

1. Угол, вершина которой лежит на окружности называется … (вписанным).

2. Угол с вершиной в центре окружности - … (центральный).

3. Отрезок, соединяющий две точки окружности называется … (хордой).

4. Наибольшея из хорд окружностей - … (диаметр).

5. Мера дуги равна мере … (центрального угла).

6. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется…(касательной)

7. Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания взаимно…(перпендикулярны)

8. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется… (секущей).

9. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр …(прямые)

10. Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной общей точки называется …(описанным).

IV.Доказательство теоремы.(5мин) (Слайд 10-11)

Мы знаем, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Докажем теорему об угле между касательной и хордой.

Теорема.
Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Доказательство.

Рис.1

Пусть АВ- данная хорда, СС₁- касательная, проходящая через точку А. Если АВ- диаметр (рис.1), то заключенная внутри угла ВАС (и также
угла ВАС₁) дуга является полуокружностью. С другой стороны, углы ВАС и ВАС₁ в этом случае прямые, поэтому утверждение теоремы верно.

Рис.2
Пусть теперь хорда АВ не является диаметром. Для определенности будем считать, что точки С и С₁ на касательной выбраны так, что угол САВ-
острый, и обозначим буквой а величину заключенной в нем дуги (рис.2). Проведем диаметр АD и заметим, что треугольник АВD прямоугольный, поэтому АDВ = 90° - DАВ = ВАС, Поскольку угол АВВ вписанный, то АDВ = , а значит, и ВАС = . Итак, угол ВАС между касательной АС и хордой АВ измеряется половиной заключенной в нем дуги.
Аналогичное утверждение верно в отношении угла ВАС₁. действительно, углы ВАС и ВАС₁ -смежные, поэтому ВАС₁ = 180-=. С другой стороны, (360° — ) это величина дуги АDВ, заключенной внутри угла ВАС₁. Теорема доказана.

V. Решение задач № 816 с оформлением. (7мин) (Слайд 12)

1. Через точку D, лежащую на радиусе ОА окружности с центром О, проведена хорда ВС, перпендикулярная к ОА, а через точку В проведена касательная к окружности, пересекающая прямую ОА в точке Е. Докажите, что луч ВА- биссектриса .

Доказательство.

АВЕ=АВ – по теореме об угле между касательной и хордой.

АВС=АС – вписанный угол.

АВ=АС – равные хорды стягивают равные дуги, а хорды АВ и АС равны, так как АВС – равнобедренный. Следовательно, АВЕ=АВС, луч ВА- биссектриса .

VII. Домашнее задание. (3мин)

1. В треугольнике АВС А=32⁰, а С=24⁰. Окружность с центром в точке В проходит через точку А, пересекает АС в точке М, ВС – в точке N. Чему равен АNМ?

2. Уметь доказывать теорему.

VIII. Подведение итогов. Самоанализ урока. (3мин)

Анализ работы учащихся на уроке. Выставление отметок.