Решение иррациональных уравнений

Урок алгебры по теме: "Решение иррациональных уравнений"

Цели и задачи урока:

• рассмотреть решение некоторых типов иррациональных уравнений;

• закрепить знания, умения и навыки решения иррациональных уравнений;

• способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты, развивать самостоятельность.

Оборудование: карточки с заданиями для каждой из групп.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Класс разделен на две группы по уровню подготовки учащихся. 1 группа – учащиеся обучающиеся на “3” и “4”, 2 группа – на “4” и “5”.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Приветствие учителя, сообщение целей урока.

II. Активизация знаний учащихся

• Какие уравнения называются иррациональными?

• Всегда ли при решении иррациональных уравнений надо находить ОДЗ?

• Какие уравнения называются равносильными?

• Как вы думаете, возведение в квадрат обеих частей уравнения приводит к равносильному уравнению?

III.Устная работа

На доске записаны уравнения:

1) = х + 7

2) + 2 = 0

3) +  = 2

4) + = 4

5) + + = – 1

6) = – 5

Из данных уравнений выберите:

• решаемые возведением в квадрат (1, 3)

• не имеющими решений (2, 4, 5)

• решаемые заменой переменной (6)

• решаемые с использование свойств монотонности функций (1, 3)

Поясните свое решение.

IV. Работа по группам

1 группа работает с учителем, вторая – самостоятельно в тетрадях по карточкам.

2 группа

1 вариант

1) 3 + = 1 – х

2)   – = – 1.

2 вариант

1) 1 – = 2 – х.

2) – = 2.

1 группа

а) Решить уравнение + 4 = х +

Чтобы избавиться от иррациональности придется дважды возводить в квадрат.

Найдем О.Д.З. х = 4,

т.е. О.Д.З. состоит из одной точки. Проверим, является ли она корнем данного уравнения.

Число обращает исходное уравнение в верное равенство, т.е. 4 – корень уравнения.

Ответ: 4.

б) Решить уравнение х² + 3 = 3х + 10

х² – 3х + 3 = 10

Пусть = у, у 0

тогда у² + 3у – 10 = 0.

у₁ = – 5 (посторонний корень),

у₂ = 2

= 2

х² – 3х = 4

х² – 3х – 4 = 0
х₁ = 4; х₂ = – 1.

Ответ:  4; – 1.

Затем учащиеся 1 группы работают самостоятельно в тетрадях по карточкам. Учащиеся 2 группы рассматривают решение уравнений совместно с учителем.

1 группа

1 вариант

1) 5 – = 4 – х.

2) – =1.

2 вариант

1) – 4 = х – 3.

2) – = – 1.

2 группа

а) Решить уравнение: + =

Найдем О.Д.З.: х = 0

Подстановкой в исходное уравнение определяем, является ли 0 – корнем уравнения.

Ответ: 0.

б) Решить уравнение: 4  –  = 3

4 – = 3

Заменим = у, у

Получим уравнение 4у –  =3

4 у² – 3у – 1 = 0

Д = (– 3)+ 16 = 25

у₁ =   – (посторонний корень);
у₂ = 1.

= 1 3х – 1 = х. х =

Ответ:

V. Совместная работа учителя со всем классом

Решить уравнение: = 8

= 8

= 8

Учитывая О.Д.З. х, заметим, что х + 0, тогда = х +

х + = 8

= 8 – х х = 5

Ответ: 5

Решить уравнение: – = 2

(Данное уравнение можно решить возведением в квадрат.)

– Попробуйте найти другой способ решения. На предыдущем уроке мы говорили, что при помощи различных преобразований нужно освободиться от иррациональности.
Для данного уравнения это осуществимо при умножении обеих частей на выражение, сопряженное выражению – .

(– )(+) = 2(+) , причем +

х + 5 – (х – 3) = 2(+)

Запишем систему из полученного и исходного уравнений.

сложим уравнения 2= 6

х + 5 = 9х = 4.

Ответ: 4

Решить уравнение:

Данное уравнение равносильно смешанной системе

Решим уравнение и учтем, что х

1. Если а = 0, то уравнение не имеет решения.

2. Если а, то х =

Ответ: если то решений нет

если , то х =

VI. Домашнее задание

1) , 3) , 5).

2) , 4) ,

VII. Самостоятельная работа ТЕСТ

Тема: «Иррациональные уравнения»

Вариант 1

1. Решите уравнение:

A) 4 B) 2 C) 6 D) 9 E) 1

2. Решить уравнение x² =

A) 2 B)5 C)4 D) 4 E)2

3. Решить систему уравнений:

A) (16; 4) B) (36; 4) C) (8; 4) D) (1; 8) E) (8; 16)

4. Решить систему уравнений:

A) (24; 11)B) (125; 11) C) (25; 100), (100; 25) D) (0; 250) E) (625; 1), (1; 625)

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

A) B) C) D)

В конце теста каждый учащийся проводит самодиагностику с использованием кодификатора. Нужно отметить свое отношение:

* - в повторении не нуждаюсь, знаю хорошо;

**- нужно напомнить на следующем уроке способ деятельности

(алгоритм), еще раз обсудить;

***- трудно, хочу решить подобную задачу в классе.

Тема: «Иррациональные уравнения»

Вариант 2

1. Решите уравнение:

A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 6

2. Решите уравнение:

A) 4 B) 2 C) 1 D) 5 E) 6

3. Решить систему уравнений

A) (-1; -9), (-9; -1) B) (0; 1), (1; 0)C) (1; 9), (9; 1)D) (16; 2), (2; 16)E) (2; 8), (8; 4)

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения .

A) (-2;0) B) (0;2) C) (2;4) D) (4;8) E) (6;1)

5. Укажите промежуток, к которому принадлежит корень уравнения:

A) B) C) D)

В конце теста каждый учащийся проводит самодиагностику с использованием кодификатора. Нужно отметить свое отношение:

* - в повторении не нуждаюсь, знаю хорошо;

**- нужно напомнить на следующем уроке способ деятельности

(алгоритм), еще раз обсудить;

***- трудно, хочу решить подобную задачу в классе.

Тема: «Иррациональные уравнения»

Вариант 3

1. Решите уравнение: (x – 5)(x + 2)= 0

A) x = 3 B) x₁ = 5, x₂ = -2, x₃ = 7 C) x = 5 D) x₁ = 7, x₂ = -2 E) x = 7

2. Решить уравнение

A) 1 B) 3 C) 5 D) 2 E) 4

3. Решить систему уравнений

A) (1; 0) B) (6; 34) C) (9; 4) D) (7; 14) E) (4; 2)

4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения =6.

A) (-140;-130) B) (-130;-120) C) (-120;-110) D) (-110;-100) E) (256;81 )

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

A) (-6;-3) B) (-3;0) C) 0;3) D) (3;6)

В конце теста каждый учащийся проводит самодиагностику с использованием кодификатора. Нужно отметить свое отношение:

* - в повторении не нуждаюсь, знаю хорошо;

**- нужно напомнить на следующем уроке способ деятельности

(алгоритм), еще раз обсудить;

***- трудно, хочу решить подобную задачу в классе.

Тема: «Иррациональные уравнения»

Вариант 4

1. Решите уравнение:

A) 8 B) 3 C) 6 D) 9 E) 5

2. Решите уравнение: x2 – 4x – 6 =

A) -2 B) 6 C) -4; 6 D) -2; 6 E) 7

3. Решите систему уравнений:

A) (16; 1) B) (64; 25) C) (81; 16) D) (625; 1) E) (256; 81)

4. Решите уравнение:

A) 1 B) 4 C) 5 D) 6 E) 0

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:

А) В) С) D) (-3; 5)

В конце теста каждый учащийся проводит самодиагностику с использованием кодификатора. Нужно отметить свое отношение:

* - в повторении не нуждаюсь, знаю хорошо;

**- нужно напомнить на следующем уроке способ деятельности

(алгоритм), еще раз обсудить;

***- трудно, хочу решить подобную задачу в классе.

VIII. Итог урока

– Какие способы решения иррациональных уравнений вы знаете?

1. Возведение обеих частей уравнения в степень равную показателю радикала

2. Введение новой переменной

3. Умножение обеих частей на сопряженное выражение

4. Метод оценки