Борьба с радикалами

"Борьба с радикалами"

Цели урока:

обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Иррациональные уравнения”;
рассмотреть решение некоторых типов иррациональных уравнений;
способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты, развивать самостоятельность.

Оборудование: плакаты, эпипроектор.

Ход урока:

Организационный момент.

Учитель. Наш урок мне хочется начать со слов А.Эйнштейна. Мне приходиться делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно. Это высказывание-эпиграф нашего урока. (слайд 2)

Устная работа.

Какие из следующих уравнений являются иррациональными? Почему? (слайд 3)

Докажите, что уравнения не имеют корней. (слайд 4)

(Задания проецируются на экран при помощи эпипроектора)

Совместная работа учителя с учащимися.

Учитель. Уметь решать иррациональные уравнения – значит, уметь избавиться от входящих в них радикалов, т.е. сводить их к уравнениям, радикалов не содержащих.

Конечно, освободиться от радикалов – это только первый этап решения, после чего надо еще решить полученное уравнение. Но этот вопрос непосредственно к решению иррациональных уравнений не относится. Чтобы не отвлекаться от него на уроке, мы ограничимся уравнениями, которые сводятся к линейным, квадратным и др. рациональным уравнениям, которые мы решать умеем. Именно такого рода уравнения чаще всего и предлагаются на экзаменах.

Рассмотрим уравнения с квадратными радикалами. Как правило, они сводятся к уравнению одного из видов:

Эти уравнения называются простейшими иррациональными уравнениями. В первую очередь именно их и нужно научиться решать.

Возведя в квадрат обе части уравнения, мы избавимся от радикалов и получим равносильные уравнения:

и (Плакат)

Вспомним, как решаются уравнения, которые содержат несколько знаков корня.

(Способы решения данного уравнения проецируются на экран, комментируются учениками).

Ученик. Первое решение самое бесхитростное. Возведя обе части уравнения в квадрат, приведя подобные слагаемые и изолируя слагаемое, содержащее радикал, в одной части получили уравнение:

Еще раз, возведя обе части уравнения в квадрат и приводя подобные слагаемые, приходим к квадратному уравнению:

Мы знаем, что при возведении обеих частей уравнения в квадрат, корни потеряться не могут, но есть возможность появиться посторонним корням. Поэтому необходимо сделать проверку. Подставляя каждый из корней в исходное уравнение, имеем верное числовое равенство при х=6. Число не удовлетворяет исходному уравнению, является посторонним корнем.

Ученик. Второй способ решения позволяет сразу отсеять посторонний корень. Перенесен радикал, перед которым стоит минус, направо.

Полученное уравнение можно рассматривать как простейшее уравнение второго типа. В нем правая часть сама содержит радикал. Т.к. она положительна при всех х, при возведении в квадрат неравенство можно не писать.

Снова получилось простейшее уравнение второго типа. Переходим к системе и решаем ее

Ответ, впрочем, уже известен.

Учитель. Отыскание области определения уравнения в большинстве иррациональных уравнений оказывается более трудоемким делом и, кроме того, проверка по области определения еще не гарантирует, что корень не является посторонним. С такими уравнениями мы с вами встречались на предыдущих уроках.

Ученик. Идея третьего решения уравнения заключается в том, чтобы взять один из радикалов за новую неизвестную. Тогда уравнение превратится в простейшее (с одним радикалом).

Пусть . Тогда