Рабочая программа кружка "Математическая мозаика" (5 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Лицей города Кирово-Чепецка Кировской области»

УТВЕРЖДАЮ: Директор МБОУ «Лицей города Кирово-Чепецка Кировской области» _______________ Г.Н.Землюкова Приказ № ____от________2016 г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

кружка

«Математическая мозаика»,

5 класс

на 2016-2017 учебный год

Автор-составитель Гмызина Л.А.,

учитель математики высшей

квалификационной категории.

.

Кирово-Чепецк

2016

Программа спецкурса

«Математическая мозаика»

5 класс

1. Пояснительная записка

Курс «Математическая мозаика» рассчитан на один год изучения в 5 классе, примыкает к основному курсу математики, углубляя отдельные, наиболее важные вопросы, систематизируя материал, изучаемый на уроках, дополняя основной курс сведениями, важными в общеобразовательном и прикладном отношении.

Цели курса:

– создать действенные и эффективные условия для развития познавательных способностей учащихся, их интеллекта и творческого потенциала;

- углубить знания учащихся, получаемые при изучении основного курса математики;

• развивать интерес к предмету, любознательность, смекалку, логическую культуру.

Актуальность курса

Математика в наши дни проникает во все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике.

Математические знания, представления о роли математики в современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры.

Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математики в школе:

• овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;

• интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;

• формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;

• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимания значимости математики для общественного прогресса.

Принципиальным положением организации школьного математического образования в основной школе становится уровневая дифференциация обучения. Это означает, что, осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей. Поэтому следует всемерно способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике.

С этой целью разработан спецкурс «Математическая мозаика». Занятия по данному спецкурсу позволяют учащимся углубить теоретические знания, способствующие решению нестандартных заданий повышенной трудности.

Курс «Математическая мозаика» предназначен для развития математических способностей учащихся, для формирования элементов логической и алгоритмической грамотности, коммуникативных умений школьников с применением коллективных форм организации занятий и использованием современных средств обучения. Создание на занятиях ситуаций активного поиска, предоставление возможности сделать собственное «открытие», знакомство с оригинальными путями рассуждений, овладение элементарными навыками исследовательской деятельности позволят обучающимся реализовать свои возможности, приобрести уверенность в своих силах.

Ценностными ориентирами содержания данного курса являются:

• формирование умения рассуждать как компонента логической грамотности; освоение эвристических приемов рассуждений;

• формирование интеллектуальных умений, связанных с выбором стратегии решения, анализом ситуации, сопоставлением данных;

• развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся;

• формирование способностей наблюдать, сравнивать, обобщать, находить простейшие закономерности, использовать догадку, строить и проверять простейшие гипотезы;

• формирование пространственных представлений и пространственного воображения;

• привлечение учащихся к обмену информацией в ходе свободного общения на занятиях.

Степень сложности материала: расширение программы по математике

Вид курса: предметный

Продолжительность курса: 34 ч.

Срок обучения: 1 год.

Категория обучающихся: учащиеся 5 класса.

Режим проведения занятий: 1 час в неделю.

Форма проведения: традиционная, урочная.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Виды деятельности:

• творческие работы;

• задания на смекалку;

• лабиринты;

• кроссворды;

• логические задачи;

• упражнения на распознавание геометрических фигур;

• решение нестандартных задач;

• решение текстовых задач повышенной трудности различными способами;

• решение комбинаторных задач;

• решение геометрических задач.

Основные формы проверки знаний:

• тестирование;

• личная олимпиада;

• математические соревнования

Планируемые результаты

Личностные результаты

• развитие любознательности, сообразительности при выполнении разнообразных заданий проблемного и эвристического характера;

• развитие внимательности, настойчивости, целеустремленности, умения преодолевать трудности – качеств весьма важных в практической деятельности любого человека;

• воспитание чувства справедливости, ответственности;

• развитие самостоятельности суждений, независимости и нестандартности мышления.

Метапредметные результаты

• освоение основных приёмов и методов решения нестандартных задач;

• умение применять при решении нестандартных задач творческую оригинальность, вырабатывать собственный метод решения;

• успешно выступать на математических соревнованиях;

• умение сопоставлять полученный (промежуточный, итоговый) результат с заданным условием;

• умение объяснять (доказывать) выбор способа действия при заданном условии;

• умение анализировать предложенные возможные варианты верного решения.

Предметные результаты

• умение работать с математическим текстом (анализировать, извлекать необходимую информацию), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи с применением математической терминологии и символики, использовать различные языки математики, проводить классификации, логические обоснования, доказательства математических утверждений;

• умение использовать и составлять алгоритмы для решения задач;

• умение применять изученные понятия, результаты, методы для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин с использованием при необходимости справочных материалов, калькулятора, компьютера.

В результате изучения курса учащиеся должны:

• знать признаки делимости на 2,3,5,9,10, и т.д.;

• использовать алгоритм Евклида для нахождения НОД чисел;

• знать основные свойства четных и нечетных чисел, применять их при решении задач, основанных на этих свойствах;

• уметь решать задачи, в основе решения которых лежит принцип Дирихле;

• уметь решать комбинаторные задачи изученных видов;

• уметь решать задачи повышенной трудности;

• применять графы при решении некоторых задач.

2. Содержание курса

Глава 1. Простейшие задачи – 1 ч.

Глава 2. Делимость и остатки – 5 ч.

Цель: 1) показать учащимся, что каждое натуральное, за исключением единицы, раскладывается на произведение простых множителей, причем единственным образом;

2) показать, что свойства делимости практически полностью определяются разложением числа на простые множители.

Учащиеся должны

знать:

- знать понятие «простые», «составные», взаимно простые» числа;

- знать свойства «делимости произведения», «делимости суммы и разности»;

- знать алгоритм Евклида;

уметь:

- применять свойства делимости произведения, суммы и разности при решении задач;

- применять алгоритм Евклида при нахождении наибольшего общего делителя чисел.

Глава 3. Четность – 5 ч.

Цель: 1) познакомить учащихся со свойствами четности суммы;

2) формировать умение решать задачи, основанных на свойстве четности.

Глава 4. Комбинаторика – 3 ч.

Цель: 1) познакомить учащихся с комбинаторными задачами, в которых при подсчете вариантов следует перемножать;

2) познакомить учащихся с комбинаторными задачами, в которых при подсчете вариантов следует складывать;

3) формировать у учащихся умение решать комбинаторные задачи.

Глава 5. Принцип Дирихле – 3 ч.

Цель: 1) познакомить учащихся с принципом Дирихле;

2) формировать умение решать задачи, построенных на принципе Дирихле.

Глава 6. Графы – 3 ч.

Цель: 1) дать понятие «графа»;

2) показать способ решения задач с помощью графов;

3) формировать умение решать задачи с помощью графов.

Глава 7. Игры – 5 ч.

Цель: 1) развивать разговорную математическую культуру;

2) активизировать познавательную деятельность учащихся.

Глава 8. Логические задачи – 2 ч.

Цель: учить учащихся последовательно мыслить: не путать причину со следствием, тщательно проводить перебор, правильно строить цепочку рассуждений

Глава 9. Конструкции и взвешивания – 2 ч.

Цель: познакомить с задачами, решением которых является целая конструкция (построение примера).

Глава 10. Геометрические задачи – 2 ч.

Цель: 1) формировать умение конструировавать геометрические объекты.

Глава 11. Задачи повышенной трудности – 2 ч.

Цель: 1) закреплять основные приёмы и методы решения нестандартных задач.

3. Календарно-тематическое планирование

№ п/п		Тема занятия	Количество часов	Дата
Простейшие задачи – 1 ч.
1.		Простейшие задачи. Задачи-шутки.	1 ч.
Делимость и остатки – 5 ч.
2.		Простые и составные числа. Взаимно простые числа.	1 ч
3.		НОД и НОК чисел	1 ч.
4.		Остатки	1 ч.
5.		Решение задач	1 ч.
6.		Алгоритм Евклида	1 ч.
Четность – 5 ч.
7.		Чередование	1 ч.
8.		Разбиение на пары	1 ч.
9.		Четность и нечетность	1 ч.
10-11		Разные задачи	2 ч.
Комбинаторика – 3 ч.
12.		Задачи, в которых при подсчете вариантов следует складывать	1 ч.
13.		Задачи, в которых при подсчете вариантов следует перемножать	1 ч.
14.		Задачи, в которых на каждом из х мест может быть поставлен элемент из некоторого у-элементного множества	1 ч.
Принцип Дирихле – 3 ч.
15.		Сущность принципа Дирихле	1 ч.
16-17		Задачи на основе принципа Дирихле	2 ч.
Графы – 3 ч.
18.		Понятие «графа»	1 ч.
19-20		Решение задач с помощью графов	2 ч.
Игры – 5 ч.
21.		Игры- шутки	1 ч.
22-23.		Симметрия	2 ч.
24-25		Выигрышные позиции	2 ч.
Логические задачи – 2 ч.
26-27		Логические задачи.	2 ч.
Конструкции и взвешивания – 2 ч.
28-29		Конструкции и взвешивания.	2 ч.
Геометрические задачи – 2 ч.
30.		Конструирование из отдельных фигур	1 ч.
31.		Разрезание фигур	1 ч.
Задачи повышенной трудности – 2 ч.
32-33	Решение задач повышенной трудности.		2 ч.
34.	Зачетная работа		1 ч.

4. Ресурсное обеспечение рабочей программы курса

1.С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин «Ленинградские математические кружки»,

г. Киров: «АСА», 1994 г.

2 «Задачи для внеклассной работы по математике в 5 – 6 классах». Пособие для учите-лей./ Сост. В.Ю. Сафонова, М.: «Мирос», 1995 г.

3.В.О. Бугаенко «Турниры имени Ломоносова», Москва «ТЕИС», 1995 г.

4.Н.П. Кострикина «Задачи повышенной трудности», Москва «Просвещение», 1986 г.

5.И.В. Ященко «Приглашение на математический праздник», МЦНМО ЧеРо, 1998 г.

6. Математика. Задачи на смекалку: учебное пособие для 5-6 классов общеобразовательных учреждений / И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 1996.

7. Ленинградские математические кружки // С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Д. В. Фомин. – Киров: АСА, 1994.

8. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах // под редакцией С. И. Шварцбурга. – М.: Просвещение, 1974.

9. Математика. Поступаем в ВУЗ по результатам олимпиад 5 – 8 класс. Часть I, учебно-методическое пособие // Е. Г. Кононова. Под редакцией Ф.Ф.Лисенко. – Ростов-на-Дону: Легион – М, 2009.

10. Задачи для внеклассной работы по математике в 5-6 классах // сост.В. Ю. Сафонова. – М.: МИРОС, 1995.

11. Олимпиадные задания по математике 5-8 классы. (500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад. Развитие творческой сущности учащихся) // автор-составитель Н. В. Заболотнева. – Волгоград: Учитель, 2006.

12. Математический кружок // А. В. Спивак. – М.: Просвещение, 2003.

13. Математический праздник // А. В. Спивак. – М.: Бюро Квантум, 2000.

14. Тысяча и одна задача по математике // А. В. Спивак. – М.: Просвещение, 2002.

15. Развитие интеллектуальных способностей школьника. Популярное пособие для родителей и педагогов // Л. Ф. Тихомирова. – Ярославль: Академия развития, 1996.

5. Приложения

Глава 2. Делимость и остатки.

Примеры заданий.

Мы предполагаем, что учащиеся знают понятия «простые», составные», «взаимно простые» числа, «наибольший общий делитель», «наименьшее общее кратное», знают признаки делимости на 2,4,5,10,50,100, умеют решать следующие типы заданий:

1. Разложить число 45 на простые множители.

2. Являются ли числа 12 и 18 взаимно простыми?

3. Какие из чисел 75432, 2772825, 5402070 делятся на 9?

4. Найти НОД и НОК чисел 675 и 825.

Примеры новых для учащихся заданий

1. Делится ли 2⁹ ∙ 3 на 2; 2⁹ ∙ 3 на 5; 2⁹ ∙ 3 на 8; 2⁹ ∙ 3 на 6?

1. p и q – различные простые числа. Сколько делителей у числа:

а) pq; б) p²q; в) p²q²; г) pⁿq^m.

3. Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.

4. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится на а) 30;

б) на 120.

5. Докажите истинность утверждении:

а) разность 16ху – 72 делится на 8; б) сумма 3abc + 19a делится на a.

6. p – простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p² и взаимно простых с ним?

7. Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры, причем одинаковые цифры – на одинаковые буквы, а разные – на разные. В итоге у него получилось АБ · ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся.

8. Найдите наибольший общий делитель чисел 2n + 13 и n + 7.

Глава 3. Четность.

Цель: 1) познакомить учащихся со свойствами четности суммы;

2) формировать умение решать задачи, основанных на свойстве четности.

Мы предполагаем, что учащиеся знают понятия «четные» и нечетные» числа, умеют их различать и решать следующие типы заданий:

1. Среди данных чисел выбрать четные числа: 46579, 3456; 20987, 1780.

2. Верно ли утверждение: число **4**3 не делится на 2?

Примеры новых для учащихся заданий

1. Конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

1. Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

1. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?

1. Можно ли доску размером 5 х 5 заполнить доминошками размером 1 х2?

1. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

1. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 1990?

1. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа – мальчики.

Глава 4. Комбинаторика

Цель: 1) познакомить учащихся с комбинаторными задачами, в которых при подсчете вариантов следует перемножать;

2) познакомить учащихся с комбинаторными задачами, в которых при подсчете вариантов следует складывать;

3) формировать у учащихся умение решать комбинаторные задачи.

Мы предполагаем, что учащиеся умеют решать простейшие комбинаторные задачи типа:

1. Сколькими способами можно расставить на полке томики стихов Пушкина, Лермонтова, Некрасова и Тютчева, чтобы Пушкин стоял на первом месте, а Некрасов и Тютчев стояли рядом?

2. Команда для игры в пляжный волейбол состоит из двух спортсменов. Сколько различных команд может создать тренер, если в его распоряжении есть четыре спортсмена?

1. На олимпиаду по математике надо выставить команду из двух человек. Сколько различных команд можно создать, если есть пять учеников, которые могут участвовать в олимпиаде?

Примеры новых для учащихся заданий

1. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек, 3 разных блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

2. В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек, 3 разных блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

1. Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

1. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

1. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

1. В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1. Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

1. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1,2,3 встречаются по оному разу?

1. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «вектор», «линия»?

Глава 5. Принцип Дирихле.

Цель: 1) познакомить учащихся с принципом Дирихле;

2) формировать умение решать задачи, построенных на принципе Дирихле.

Мы предполагаем, что учащиеся умеют решать простейшие задачи, построенные на принципе Дирихле, не зная в чем суть данного принципа, типа:

1. В школе 20 классов. В ближайшем доме живет 23 ученика этой школы. Можно ли утверждать, что среди них обязательно найдутся хотя бы два одноклассника?

2. Коля подсчитал, что за день в завтрак, обед и ужин он съел 10 конфет. Докажите, что хотя бы один раз он съел не меньше четырех конфет?

3. В корзине носки двух цветов одного размера. Сколько носков нужно вынуть из корзины, не заглядывая в нее, чтобы среди них оказалась хотя бы одна пара носков?

Примеры новых для учащихся заданий

1. Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность которых делится на 11.

1. В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок ( в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.

1. В стране Курляндии m футбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все футболисты собрались в аэропорту для поездки в другую страну на ответственный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя каждый раз по m пассажиров. Еще один футболист прилетел к месту предстоящего матча на вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда была целиком доставлена в другую страну.

1. Докажите, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющие одинаковое число знакомых.

1. Какое наибольшее число полей на доске 8 х 8 можно закрасить в черный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трех полей было по крайней мере одно незакрашенное поле?

1. Пятеро молодых рабочих получили на всех зарплату – 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать с покупкой до следующей зарплаты.

Глава 6. Графы.

Цель: 1) дать понятие «графа»;

2) показать способ решения задач с помощью графов;

3) формировать умение решать задачи с помощью графов.

Мы предполагаем, что учащиеся не знакомы с понятием «графы» и не решали задачи с их помощью.

Примеры новых для учащихся заданий

1. Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля-Меркурий, Плутон-Венера, Земля-Плутон, Плутон-Меркурий, Меркурий-Венера, Уран-Нептун, Нептун-Сатурн, Сатурн-Юпитер, Юпитер-Марс, и Марс-Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9?

1. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими?

2. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве?

1. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга (в этом классе), 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?

Глава 7. Игры.

Цель: 1) развивать разговорную математическую культуру;

2) активизировать познавательную деятельность учащихся.

Примеры новых для учащихся заданий

1. Игры-шутки

а) Двое по очереди ломают шоколадку 6 х 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

б) Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие; проигрывает тот, кто не сможет сделать ход.

в) Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Игроки по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он четен, то выигрывает первый игрок, если нечетен, то второй.

1. Игра «Симметрия»

а) Двое по очереди кладут пятаки на круглый стол, причем так, чтобы они накладывались друг на друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

б) Двое по очереди ставят слонов в клетки шахматной доски так, чтобы слоны не били друг друга. (Цвет слонов значения не имеет). Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

в) Имеется две кучки камней – по 7 камней в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать.

г) Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

1. Игра «Выигрышные позиции»

а) Ладья стоит на поле а1. За ход разрешается сдвинуть ее на любое число клеток вправо или на любое число клеток вверх. Выигрывает тот, кто поставит ладью на поле h8.

б) Имеются две кучки конфет: в одной – 20, в другой – 21. За ход нужно съесть одну из кучек, а вторую разделить на две не обязательно равных кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

В) Игра начинается с числа 60. За ход разрешается уменьшить имеющееся число на любой из его делителей. Проигрывает тот, кто получит ноль.

Глава 8. Конструкции и взвешивания.

Цель: познакомить с задачами, решением которых является целая конструкция (построение примера).

Примеры новых для учащихся заданий

1. Имеются двое песочных часов: на 7 минут и на 11 минут. Яйцо варится 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?

2. В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую – опускается на 8 этажей. Как попасть с 13-ого этажа на 8-ой?

3. За один ход число, написанное на доске, разрешается либо заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Вначале на доске написано число 458. Ка за несколько ходов получить число 14?

4. В ряд выложены карточки, на которых написаны числа 7, 8, 9, 4, 5, 6, 1, 2, 3. Разрешается взять несколько подряд лежащих карточек и переставить их в обратном порядке. Можно ли взять несколько подряд лежащих карточек и переставить их в обратном порядке. Можно ли за три таких операции добиться расположения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?

5. В клетках таблицы 4 х 4 расставлены числа от 1 до 16 так, как показано на рисунке. Разрешается прибавить единицу одновременно ко всем числам любой строки или вычесть единицу из всех чисел любого столбца. Можно ли с помощью таких операций получить таблицу, приведенную на рисунке рядом?

Задачи на взвешивание

1. Есть 9 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За два взвешивания определите фальшивую монету.

2. Есть 10 мешков с монетами. Один из них целиком заполнен фальшивыми монетами, которые на один грамм легче настоящих. За одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, определите «фальшивый мешок».

3. Имеется 101 монета. Среди них 100 одинаковых настоящих монет и одна фальшивая, отличающаяся от них по весу. Необходимо выяснить, легче или тяжелее фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?

4. Есть 6 монет, из которых две – фальшивые, весящие меньше настоящих. За 3 взвешивания определите обе фальшивые монеты.

Глава 9. Логические задачи.

Цель: учить учащихся последовательно мыслить: не путать причину со следствием, тщательно проводить перебор, правильно строить цепочку рассуждений.

Примеры новых для учащихся заданий

1. Сегодня Петина мама сказала: «Все чемпионы хорошо учатся». Петя говорит: «Я хорошо учусь. Значит, я чемпион». Правильно ли он рассуждает?

2. На столе лежат 4 карточки, на которых написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно надо перевернуть, чтобы проверить, верно ли утверждение: «Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой стороне карточки – гласная буква»?

3. В кошельке лежат две монеты на общую сумму 15 копеек. Одна из них не пятак. Что за монеты?

4. Предположим, что справедливы следующие утверждения:

а) среди людей, имеющих телевизоры, есть такие, которые не являются малярами;

б) люди, каждый день купающиеся в бассейне, но не являющиеся малярами, не имеют телевизоров.

Следует ли отсюда, что не все владельцы телевизоров каждый день купаются в бассейне?

5. В стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. В свою очередь Болванщик и Соня дали показания, которые по каким-то причинам не были записаны. В ходе судебного заседания выяснилось, что муку украл лишь один из трех подсудимых и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?

Глава 10. Геометрические задачи.

Цель: 1) формировать умение конструировать геометрические объекты.

Примеры новых для учащихся заданий

1. Нарисуйте 4-звенную ломаную, проходящую через 9 точек, изображенных на рисунке.

2. Как разрезать квадрат на 5 прямоугольников, чтобы никакие два из них не имели общей стороны?

3. Можно ли нарисовать замкнутую 8-звенную ломаную, которая пересекает каждое звено ровно один раз?

4. Можно ли разрезать квадрат на несколько тупоугольных треугольников?

5. Верно ли, что среди любых 10 отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

6. Король хочет построить 6 крепостей и соединить каждые две из них дорогой. Начертите такую схему расположения крепостей и дорог, чтобы на ней было только три перекрестка, и на каждом из них пересекались только две дороги.

Глава 11. Задачи повышенной трудности

Цель: 1) закреплять основные приёмы и методы решения нестандартных задач.

Примеры новых для учащихся заданий

1. В классе 14 человек занимаются английским языком, 8 человек – французским. Трое учеников при этом изучают оба языка. Сколько учеников в классе, если известно, что каждый изучает хотя бы один язык?

2. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр.

3. Автобус назовем переполненным, если в нем больше 50 пассажиров. Едет колонна автобусов. Что больше – процент переполненных автобусов или процент пассажиров, едущих в переполненных автобусах?

4. Варианты городской олимпиады для 6 – 11 классов составляются так, что в каждой из них по 8 задач, и в каждом варианте есть ровно три задачи, которые встречаются в других классах. Какое максимально возможное количество задач могло использовать жюри?

5. Учащиеся школы построены в прямоугольном каре. После этого в каждой колонне выбрали самого высокого школьника, и из них выбрали самого низкого – им оказался Петя Иванов. Затем в каждой шеренге выбрали самого низкого школьника и из них выбрали самого высокого – им оказался Ваня Петров. Кто выше – Ваня или Петя?

15