Презентация по теме: "Путеводитель по стране функций"

МАТЕМАТИКА И ПРОЕКТИРОВАНИЕ

Тема: «ФУНКЦИИ»

ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ

Мы хотим показать

Замечательные особенности математики: абстрактность, логику, непреложность выводов, совершенство языка, полезность, обаяние истории.

Редкую красоту функциональных зависимостей.

Связь математики с жизнью, с нашей будущей профессией.

ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

Понятие. Способы задания.

Свойства. Графики.

ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

СОДЕРЖАНИЕ

Понятие функции

Обозначение функции

Линейная функция

Способы задания функции

Логарифмическая функция

Показательная функция

Квадратичная функция

Тригонометрические функции

Функциональные зависимости в реальных процессах и явлениях

Профессионально значимые знания и умения

Великие математики

Информационные источники

ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ФУНКЦИИ

Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле.

Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и ноги, голова и туловище, нос и рот.

Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Функции – это математические портреты

устойчивых закономерностей, познаваемых человеком.

Знание функциональных зависимостей позволяет давать ответы на весьма разнообразные вопросы – от датировки древних документов до управления сложнейшими производственными процессами.

ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

время схватывания гипса

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Переменные

НАПИСАНИЕ БУКВЫ И В РАЗНЫЕ ВЕКА

до XII века XIII век XIV век с XVI века

Венера – Афродита

Марс – …

Юпитер – Зевс

количество добавки, %

ФУНКЦИИ – это законы, управляющие соответствиями переменных

СИМВОЛИКА

Символику математики сравнивают со стенографией. Однако она экономит не только бумагу, но и мысль – упрощает выкладки, облегчает преобразование формул, ограждает от ошибок, ускоряет решение задач. Она освобождает ум от лишней работы ради более важных проблем. Символика математики создавалась не сразу и не одним человеком. Про самые древние изобретения в этой области мы не можем сказать, кто был их автором – кто придумал, например, знаки «плюс» и «минус», кто предложил сократить до трех букв латинские названия функций «синус» и «косинус» или стилизовать под знак корня первую букву латинского слова «радикс», означающего корень. История зафиксировала математические события лишь сравнительно недавнего прошлого.
Когда складывался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение для «функции вообще», тогда и появился символ f (x) , привычный ныне. Обозначение прижилось, ибо оно весьма наглядно. Букву f можно мыслить как характеристику любой функции – корня и логарифма, синуса и косинуса. Когда речь идет о конкретном значении функции, соответствующем конкретному числовому значению аргумента, вместо х в скобки подставляют это число.
Этот символ изобрел в 1733 году французский математик Клеро.

ОБОЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

х 1

y 1

х 2

…

y 2

…

х n

y n

Табличный

х – любое число, у(х) – целая часть

числа х, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее х.

Обозначение: у = [ х ] .

Словесный

Аналитический

Графический

Для задания функции необходимо лишь указать закон соответствия между переменными. Способ же задания этого закона не имеет значения.

ТАБЛИЧНЫЙ

Производство металлов

год

2006

никель

244 тыс. т

2005

медь

425 тыс. т

золото

243 тыс. т

2004

2003

243 тыс. т

452 тыс. т

154 тыс. унций

447 тыс. т

151 тыс. унций

239 тыс. т

2002

135 тыс. унций

451 тыс. т

218 тыс. т

136 тыс. унций

450 тыс. т

126 тыс. унций

ПРИМЕРЫ

табличного способа задания функций :

1. Таблицы квадратов, кубов, логарифмов, …

2. Справочные таблицы для строителей.

3. …

Преимущество

Недостатки

Не дает полного представления о характере функциональной зависимости

Не является наглядным

Простота

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

СЛОВЕСНЫЙ СПОСОБ

Функция Дирихле у = D (х): если х – рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х – иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю.

Целые числа

Обыкновенные дроби

Конечные десятичные

дроби

Например:

Периодические

десятичные дроби

Функция Дирихле определена во всех точках, однако построить ее график невозможно: на любом сколь угодно малом отрезке она принимает и значение 0, и значение 1.

Функция Дирихле разрывна в каждой точке.

Бесконечные непериодические

десятичные дроби

И Р Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е

Функция Лежена Дирихле (1805-1859)

АНАЛИТИЧЕСКИЙ

Преимущества:

– компактность;

– возможность подсчета значения y при любом значении х;

– возможность применения математического аппарата для более детального исследования функции.

Недостатки

Недостаточная наглядность

Возможная трудность вычисления значений функции

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

ГРАФИЧЕСКИЙ

Преимущество

Область определения и множество значений

Нули функции

Промежутки знакопостоянства

Промежутки монотонности

Точки экстремума

Наибольшее и наименьшее значения функции

Четность, нечетность

Периодичность и ограниченность

Наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции

Недостаток

Невозможность применения математического

аппарата для более детального исследования функции

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

ГРАФИЧЕСКИЙ

Выход серы в зависимости от длительности ресурсных испытаний.

Температура 910-965 0 С, катализатор- ИК-НН- 1/С, объемная скорость 1250-1320 ч -1

Выход серы в зависимости от длительности пилотных испытаний.

Температура 910-965 о С, катализатор- ИК-НН-1/К, объемная скорость 1320 ч -1

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ

ГРАФИЧЕСКИЙ СПОСОБ

РАСХОДОМЕРЫ ОБТЕКАНИЯ

Ротаметр

Каждый ротаметр имеет паспорт, в котором дается градуировочная кривая, показывающая зависимость расхода от положения поплавка.

ПРИБОРЫ ПОСТОЯННОГО ПЕРЕПАДА

О времени и часовом мастере

Когда в Москве кремлевские куранты отбивают шесть часов утра, в Норильске уже десять. Расположенный по долготе восточнее столицы, город раньше встречает солнце. Приезжая в Москву, норильчане переставляют свои часы на четыре часа назад.

Перенесемся теперь на три века вспять. Парусник в открытом море. Как определить долготу места, в котором он находится? Очень просто, если на корабле есть часы, поставленные в порту отправления. Нужно измерить местное время по солнцу и сравнить с показателями часов. Расхождение пропорционально разнице по долготе между тем пунктом, где находится корабль, и тем, в котором были поставлены часы.

Точный закон этой пропорциональности позволяет вывести соотношение: тремстам шестидесяти градусам земной окружности соответствует двадцать четыре часа, за которые земля совершает полный оборот вокруг своей оси. Поэтому если часы отстают по сравнению с местным временем на шесть часов, корабль находится на 90 ° восточнее того места, где были поставлены часы. Спешат на четыре часа – на 60 ° западнее.

О времени и часовом мастере

Разумеется, для подобного определения долготы нужны очень точные часы. А как можно требовать точности от маятниковых часов, которыми снабжен парусник? Их ход зависит от длины маятника, а она то и дело меняется: теплый день сменяется прохладной ночью, и во время плавания парусник приближается то к голубым полярным льдам, то к пальмам тропиков. Тепло удлиняет маятник, холод укорачивает. Такова неумолимая реальность.

И все-таки нашелся способ избежать неизбежного зла. Чудо совершил в 1726 году английский часовой мастер Джон Гаррисон. Это удалось ему потому, что он знал функциональную зависимость длины металлического стержня от температуры, до которой стержень нагрет.

Эту функцию описывает прямая линия. Такая зависимость называется линейной. Суть ее в том, что одинаковым приращениям аргумента всегда соответствует одно и то же приращение функции. Иначе говоря, функция изменяется равномерно при равномерном росте аргумента.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

y = kx+b , k , b – действительные числа

График - прямая

k – угловой коэффициент

k = tg 

 – угол наклона графика к оси абсцисс

b – ордината точки пересечения графика с осью ординат

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

График – прямая

y = kx+b , k , b – действительные числа

Свойства

1. Область определения: D ( y) = R.

2. Область значений:

если k ≠ 0 , то Е(у) = R , если k = 0 , то E(y) = {b}.

3. Четность, нечетность:

если k ≠ 0 , b ≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной ;

если k ≠ 0 , b = 0, то функция нечетная;

если k = 0 , b ≠ 0, то функция четная;

если k = 0 , b = 0, то функция тождественно равна нулю, то есть является

одновременно четной и нечетной.

4. Нули:

если k ≠ 0 , то у = 0 при х = – b / k ;

если k = 0 , b ≠ 0, то нулей нет;

если k = 0 , b = 0, то у = 0 при х ϵ R.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

0 , то у 0 при x  ( – b / k ; + ∞) , y при x  (– ∞; – b / k) ; если k , то у 0 при x  (– ∞; – b / k) , y при x  ( – b / k ; + ∞) ; если k = 0, b 0 , то у 0 при х  R; если k = 0, b то у при х  R; если k = 0, b = 0, то у = 0 при х  R . 6 . Промежутки монотонности: если k 0 , то функция возрастает при x  R ; если k то функция убывает при x  R; если k = 0, то функция постоянна при х  R. 7 . Экстремумов нет. у = – 2х + 2 х 0 y 2 1 0 Для построения графика линейной функции по двум точкам часто удобно выбирать точки (0; b) и (– b / k ; 0) на осях координат. ! ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 19" width="640"

y = kx+b , k , b – действительные числа

Свойства

5 . Промежутки знакопостоянства:

если k 0 , то у 0 при x  ( – b / k ; + ∞) , y при x  (– ∞; – b / k) ;

если k , то у 0 при x  (– ∞; – b / k) , y при x  ( – b / k ; + ∞) ;

если k = 0, b 0 , то у 0 при х  R;

если k = 0, b то у при х  R;

если k = 0, b = 0, то у = 0 при х  R .

6 . Промежутки монотонности:

если k 0 , то функция возрастает при x  R ;

если k то функция убывает при x  R;

если k = 0, то функция постоянна при х  R.

7 . Экстремумов нет.

у = – 2х + 2

Для построения графика линейной функции по двум точкам часто удобно выбирать точки (0; b) и (– b / k ; 0) на осях координат.

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

0 E (y) = [D /(4 а ) ; + ∞) ; при a 0 E (y) = ( – ∞; – D /(4 а ) ] . 3. Четность, нечетность: если b = 0 , то функция четная; если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная. 4 . Нули функции: при D 0 два нуля: при D = 0 один нуль: х = – b /(2 а ); при D нулей нет . КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ 19" width="640"
График – парабола
y = ах 2 + b х + c , где a ≠ 0
Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента а и дискриминанта D = b 2 – 4ac.
1. Область определения: D (y) = (– ∞; + ∞).

2. Область значений:
при a 0 E (y) = [D /(4 а ) ; + ∞) ;
при a 0 E (y) = ( – ∞; – D /(4 а ) ] .

3. Четность, нечетность:
если b = 0 , то функция четная;
если b ≠ 0, то функция ни четная, ни нечетная.

4 . Нули функции:
при D 0 два нуля:

при D = 0 один нуль: х = – b /(2 а );
при D нулей нет .
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
19
0 , D 0, то у 0 при x  ( – ∞ ; x 1 )  (x 2 ; + ∞), y при x  (x 1 ; x 2 ) ; если a 0 , D = 0, то у 0 при x  (– ∞; х 1 )  (x 1 ; + ∞) ; если a 0, D 0 , то у 0 при х  R; если a 0, то у 0 при х  (x 1 ; x 2 ), y при x  ( – ∞ ; x 1 )  (x 2 ; + ∞) ; если a = 0, то у при х  ( – ∞ ; x 1 )  (x 1 ; + ∞) ; если а , то у 0 при х  R . 7 . Промежутки монотонности: при а 0 функция возрастает при x  [ – b / (2 a ); + ∞), функция убывает при х  (– ∞; – b /(2 а ) ] ; при а функция возрастает при x  (– ∞; – b /(2а) ] , функция убывает при х  [ – b / (2 a ); + ∞). 8. Экстремумы: при а 0 x min = – b(2 a ) , y min = – D / (4 a ); при а max = – b(2 a ) , y max = – D / (4 a ). ! 1. Направление ветвей. 2. Координаты вершины. 3. Ось симметрии. 4. Точки пересечения (касания) графика с осями координат. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ 21" width="640"
y = ах 2 + b х + c , где a ≠ 0
Построение параболы
Свойства
6 . Промежутки знакопостоянства:
если a 0 , D 0, то у 0 при x  ( – ∞ ; x 1 )  (x 2 ; + ∞),
y при x  (x 1 ; x 2 ) ;
если a 0 , D = 0, то у 0 при x  (– ∞; х 1 )  (x 1 ; + ∞) ;
если a 0, D 0 , то у 0 при х  R;
если a 0, то у 0 при х  (x 1 ; x 2 ),
y при x  ( – ∞ ; x 1 )  (x 2 ; + ∞) ;
если a = 0, то у при х  ( – ∞ ; x 1 )  (x 1 ; + ∞) ;
если а , то у 0 при х  R .

7 . Промежутки монотонности:
при а 0 функция возрастает при x  [ – b / (2 a ); + ∞),
функция убывает при х  (– ∞; – b /(2 а ) ] ;
при а функция возрастает при x  (– ∞; – b /(2а) ] ,
функция убывает при х  [ – b / (2 a ); + ∞).

8. Экстремумы:
при а 0 x min = – b(2 a ) , y min = – D / (4 a );
при а max = – b(2 a ) , y max = – D / (4 a ).
!
1. Направление ветвей.
2. Координаты вершины.
3. Ось симметрии.
4. Точки пересечения
(касания) графика
с осями координат.
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
21
0, D = 0 a 0, D a 0, D 0 a a a 0 КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ" width="640"
y = ах 2 + b х + c , где a ≠ 0
Парабола
a 0, D = 0
a 0, D
a 0, D 0
a
a
a 0
КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

0, a ≠ 1) График и свойства 1. Область определения: D(y) = (– ∞; + ∞). 2. Область значений: E(y) = ( 0 ; + ∞). 3. Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной. 4 . Нулей функции нет . 5. Промежутки знакопостоянства: у 0 при х  R. 6 . Промежутки монотонности: при а 1 функция возрастает при х  R. при 0 а 1 функция убывает при х  R. 7. Экстремумов нет. 8. Асимптота: у = 0. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ" width="640"
y = а х ( a 0, a ≠ 1)
График и свойства
1. Область определения: D(y) = (– ∞; + ∞).
2. Область значений: E(y) = ( 0 ; + ∞).
3. Четность, нечетность:
функция не является ни четной, ни нечетной.
4 . Нулей функции нет .
5. Промежутки знакопостоянства:
у 0 при х  R.
6 . Промежутки монотонности:
при а 1 функция возрастает при х  R.
при 0 а 1 функция убывает при х  R.
7. Экстремумов нет.
8. Асимптота: у = 0.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
График показательной функции именуется показательной кривой. Иногда эту линию называют экспонентой (от латинского « exponere » – «выставлять на показ»). Многим этот термин знаком по расхожему словосочетанию «экспоненциальный рост», выражающему наиболее броскую черту показательной кривой – ее безудержно крутой взлет.
Примеры подобного роста подыскать нетрудно. Показательная функция непременно встречается при математическом описании таких процессов, в которых скорость изменения некоторого количества в каждый момент пропорциональна самому количеству. По такому правилу размножается все живое: приплод всегда пропорционален достигнутой численности. По закону все более крутого, экспоненциального роста увеличивается колония микробов в чашке Петри. По такому же закону плодились кролики, за короткий срок заполнившие Австралию.

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
Природа знает и примеры экспоненциального спада, когда скорость убывания некоторого количества в каждый момент пропорциональна остатку (а стало быть, уменьшается вместе с ним; в этом – характерная черта экспоненциального спада).
Скорость химической реакции сохраняет пропорциональность количеству реагирующих веществ по мере того, как они расходуются с течением времени. В этой пропорциональности заключается один из важнейших законов химии – так называемый закон действующих масс. Скорость радиоактивного распада точно так же соразмерена с количеством еще нераспавшихся атомов.

Определяющая особенность показательной функции :
Функция изменяется по закону геометрической прогрессии (возрастающей или убывающей) при изменении аргумента по закону арифметической прогрессии.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

0, a ≠ 1) График График расположен выше оси абсцисс, проходит через точки (0;1) и (1; а ). ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ 26" width="640"
y = а х ( a 0, a ≠ 1)
График
График расположен выше оси абсцисс, проходит через точки (0;1) и (1; а ).
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
26

Сколько звезд на небе?
Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие исследователи могли следить за возникновением и угасанием звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие – второй, еще столь же менее яркие – третьей и так далее в порядке равномерного убывания видимого блеска – до звезд, едва видимых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.
Когда ученые получили в свое распоряжение чувствительные приборы для световых измерений, стало возможным точно определить блеск звезд и сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по видимому блеску, произведенное на глаз.
Оказалось: объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны друг другу!
26

Сколько звезд на небе?
Глаз сравнивает источники света по блеску, задаваясь вопросом «во сколько раз?» – а не вопросом «на сколько?» Мы отмечаем не абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда нам кажется, что он возрастает или убывает равномерно, в действительности мы шагаем по его шкале все более размашистыми шагами, покрывая при этом поистине гигантский диапазон: в миллион миллионов раз различаются по блеску источника света, воспринимаемые человеческим глазом!
По тому же закону мудрая природа проградуировала и наш слуховой аппарат. И оттого диапазон звуков, внятных человеческому уху – от шелеста листвы до раскатов грома над головой, почти столь же широк.
Суть описанной функциональной зависимости :
Возрастанию аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует одно и то же приращение функции.
Когда аргумент меняется по закону геометрической прогрессии, функция меняется по закону арифметической.
Как же называется функция, с которой можно познакомиться, глядя на звезды?
26
0, a ≠ 1) График и свойства 1. Область определения: D(y) = ( 0 ; + ∞). 2. Область значений: E(y) = (– ∞; + ∞). 3. Четность, нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной. 4 . Нули функции: у = 0 при x = 1 . 5. Промежутки знакопостоянства: если 0 a , то у 0 при х  (0;1), у при х  (1; ∞); если a 1 , то у 0 при х  (1; ∞ ), у при х  (0;1). 6. Промежутки монотонности: при а 1 функция возрастает при х  ( 0 ; ∞) ; при 0 а 1 функция убывает при х  ( 0 ; ∞). 7. Экстремумов нет. 8. Асимптота: х = 0. ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 26" width="640"
y = log а x ( a 0, a ≠ 1)
График и свойства
1. Область определения: D(y) = ( 0 ; + ∞).
2. Область значений: E(y) = (– ∞; + ∞).
3. Четность, нечетность:
функция не является ни четной, ни нечетной.
4 . Нули функции: у = 0 при x = 1 .
5. Промежутки знакопостоянства:
если 0 a , то у 0 при х  (0;1),
у при х  (1; ∞);
если a 1 , то у 0 при х  (1; ∞ ),
у при х  (0;1).
6. Промежутки монотонности:
при а 1 функция возрастает при х  ( 0 ; ∞) ;
при 0 а 1 функция убывает при х  ( 0 ; ∞).
7. Экстремумов нет.
8. Асимптота: х = 0.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
26

y = log а x и у = а х
«НЕРАЗЛУЧНАЯ ПАРА» - ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно у = х.
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФУНКЦИИ

0 при x  (2 π n , π + 2 π n) , n  Z; sin x при x  (- π +2 π n , 2 π n) , n  Z. 8 . Экстремумы: x min = - π / 2 + 2 π n , n  Z ; у min = - 1; x max = π / 2 + 2 π n , n  Z ; у max = 1. 9 . Промежутки монотонности: функция возрастает при x  [ - π / 2 + 2 π n ; π / 2 + 2 π n ] , n  Z ; функция убывает при x  [ π / 2 + 2 π n ; 3 π / 2 + 2 π n] , n  Z . ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ" width="640"
y = sin x
График и свойства
1. Область определения: D ( y) = (– ∞; + ∞).
2. Область значений: E(y) = [ - 1; 1].
3. Функция нечетная: sin ( – x ) = – sin x .
4 . Нули функции: sin x = 0 при x = π n , n  Z .
5. Функция ограниченная: |sin x| ≤ 1.
6 . Функция периодическая: sin ( x + 2 π n ) = sin x , n  Z .
Основной период: Т (y) = 2 π .
7 . Промежутки знакопостоянства: sin x 0 при x  (2 π n , π + 2 π n) , n  Z;
sin x при x  (- π +2 π n , 2 π n) , n  Z.
8 . Экстремумы: x min = - π / 2 + 2 π n , n  Z ; у min = - 1;
x max = π / 2 + 2 π n , n  Z ; у max = 1.
9 . Промежутки монотонности:
функция возрастает при x  [ - π / 2 + 2 π n ; π / 2 + 2 π n ] , n  Z ;
функция убывает при x  [ π / 2 + 2 π n ; 3 π / 2 + 2 π n] , n  Z .
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

И это все о ней …
В стихотворении Е. Долматовского синусоида представлена линией жизни:
Научись встречать беду не плача:
Горький миг – не зрелище для всех.
Знай: душа растет при неудачах
И слабеет, если скор успех.
Мудрость обретают в трудном споре.
Предначертан путь нелегкий твой
Синусойдой радости и горя,
А не вверх взмывающей кривой.
Из книги «Евклидовы мотивы»:
Ах, как томительны вечные спуски,
Как утомительны вечные взлеты!..
В каждой ложбине,
На каждой вершине –
Тщетной надеждой – мечта о привале,
Об остановке, о передышке.
Из студенческой песни:
А синуса график волна за волной
По оси абсцисс убегает.
Эжен Гильвик (перевод с французского Мориса Ваксмахера)
СИНУСОИДА

И это все о ней …
Студенческий фольклор
В о п р о с : Почему трамвай работает на постоянном токе?
О т в е т :
Если бы он работал на переменном, рельсы пришлось бы укладывать
по синусоиде.
Шутка напоминает о том, что переменный ток
изменяется во времени по закону синуса.
Тригонометрические функции встречаются не только в задачах, связанных с углами, поворотами, вращением. Если аккуратно снять шкурку с пластика колбасы, порезанной наискосок, то эта гибкая полоска, расправленная на столе, превратится в волну синусоиды. А вот примеры посерьезнее. По синусоиде изгибается линейка, сжатая с концов, упругая балка под непомерной нагрузкой. Именно эту зависимость применяет (быть может, не думая об этом) курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.
СИНУСОИДА

0 при x  (– π /2 + 2 π n , π /2 + 2 π n) , n  Z; cos x при x  ( π / 2 + 2 π n , 3 π /2 + 2 π n) , n  Z. x min = π + 2 π n , n  Z ; у min = - 1; x max = 2 π n , n  Z ; у max = 1. при x  [ - π + 2 π n ; 2 π n ] , n  Z ; при x  [ 2 π n ; π + 2 π n] , n  Z . ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ" width="640"
y = cos x
График и свойства
1. Область определения:
2. Область значений:
3. Функция нечетная:
4 . Нули функции:
5. Функция ограниченная:
6 . Функция периодическая:
Основной период:
7 . Промежутки знакопостоянства:

8 . Экстремумы:

9 . Промежутки монотонности:
функция возрастает
функция убывает
D(y) = (– ∞; + ∞).
E(y) = [ - 1; 1].
cos ( – x ) = cos x .
cos x = 0 при x = π /2 + π n , n  Z .
| со s x| ≤ 1.
cos ( x + 2 π n ) = cos x , n  Z .
Т (y) = 2 π .
cos x 0 при x  (– π /2 + 2 π n , π /2 + 2 π n) , n  Z;
cos x при x  ( π / 2 + 2 π n , 3 π /2 + 2 π n) , n  Z.
x min = π + 2 π n , n  Z ; у min = - 1;
x max = 2 π n , n  Z ; у max = 1.

при x  [ - π + 2 π n ; 2 π n ] , n  Z ;
при x  [ 2 π n ; π + 2 π n] , n  Z .
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

y = tg x и y = с tg x
Графики
Синус, косинус и тангенс породнены прямоугольным треугольником, через который они определяются. От греческого имени треугольника – «тригоном» произошло собирательное название «тригонометрические функции» .
К тригонометрическим функциям, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще косеканс, секанс и котангенс, соответственно получаемые из перечисленных по правилу обратной пропорциональности.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Свойства
y = tg x
1. Область определения
y = с tg x
(– π / 2 + π n ; π /2 + π n ), n  Z
2. Область значений
( π n ; π + π n ), n  Z
(– ∞; + ∞).
3. Четность (нечетность)
(– ∞; + ∞).
нечетная: tg ( – x ) = – tg x
4. Нули функции
нечетная: ctg ( – x ) = – ctg x
tg x = 0 при x = π n , n  Z
5. Наименьший положительный период
6. Промежутки знакопостоянства
ctg x = 0 при x = π / 2 + π n , n  Z
π
π
7 . Промежутки возрастания Промежутки убывания
( π n; π / 2 + π n) , n  Z
( – π / 2 + π n; π n) , n  Z
( π n; π / 2 + π n) , n  Z
( – π / 2 + π n; π n) , n  Z
( – π / 2 + π n ; π / 2 + π n) , n  Z нет
8. Точки экстремума
нет
( π n; π + π n) , n  Z
нет
9. Экстремумы функции
нет
нет
нет
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Прямая пропорциональность Обратная пропорциональность Квадратичная зависимость Кубическая зависимость
Зависимости, содержащие экспоненты и логарифмы
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Радиоактивный распад

Кинетическая энергия

Формула Циолковского

Закон Ома

Рост народонаселения

Объем шара
В РЕАЛЬНЫХ ПРОЦЕССАХ И ЯВЛЕНИЯХ
37

ФУНКЦИИ
ПРОФЕССИОНАЛЬНО ЗНАЧИМЫЕ УМЕНИЯ
ОПЕРИРОВАТЬ ОСНОВНЫМИ СПОСОБАМИ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ
ЧИТАТЬ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ ПО ГРАФИКУ
ОПРЕДЕЛЯТЬ ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕННЫМИ, ЗАДАННУЮ ГРАФИЧЕСКИ
РАБОТА СО СПРАВОЧНОЙ ЛИТЕРАТУРОЙ
РАБОТА С ИНСТРУКЦИОННЫМИ КАРТАМИ
ПРОВЕДЕНИЕ РАСЧЕТОВ
ВООБРАЖЕНИЕ, ИЗОБРЕТАТЕЛЬНОСТЬ, КОНСТРУКТОРСКИЕ СПОСОБНОСТИ, НАБЛЮДАТЕЛЬНОСТЬ, ЛОГИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ, УМЕНИЕ ОТЫСКИВАТЬ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ПУТИ ДЛЯ ДОСТИЖЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЦЕЛИ, ТВОРЧЕСКОЕ ОТНОШЕНИЕ К ОКРУЖАЮЩЕЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОСТИ
ОСНОВНЫЕ КОМПОНЕНТЫ ТВОРЧЕСКОГО ТРУДА
РОЛЬ МАТЕМАТИКИ В БУДУЩЕЙ ПРОФЕССИИ
38

Рене Декарт (1596-1650)
Понятие функции возникло в математике недавно. Чтобы прийти к пониманию целесообразности его введения и получить первые достаточно четкие определения, потребовались усилия первоклассных математиков нескольких поколений. Но в первую очередь следует назвать имена П. Ферма, Р. Декарта, И. Ньютона, Г.В. Лейбница.
Никто никогда столь успешно не проникал в тайны чисел, как Ферма.
Л. Эйлер
Французский математик и юрист. Один из крупнейших математиков своего времени.
В 1629 году Пьер Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов, при выводе которых активно применял предельные переходы, располагая простейшим дифференциальным условием максимума и минимума. Великая теорема Ферма, не доказанная, правда, и поныне, лишь один из итогов его размышлений над проблемами теории чисел.
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ
38

Рене Декарт (1596-1650)
Великий французский философ и математик. Один из создателей аналитической геометрии. Ввел понятие переменной величины. Заметил, что введение системы координат на плоскости и задания фигур их уравнениями позволяют свести многие задачи геометрии к исследованию уравнений геометрических фигур. В честь Декарта прямоугольная система координат позднее была названа декартовой . Его идеи нашли многочисленных последователей – «картезианцев» (латинизированное имя Декарта – Картезий).
Кроме того, он положил начало учению о рефлексах, его бюст по просьбе И.П. Павлова был поставлен в Колтушах, у лаборатории великого физиолога. Он считается одним из основателей языка французской прозы. Начав с «влюбленности в поэзию», он остался ей верен, и последним его созданием была пьеса в стихах, написанная в Стокгольме. В области музыкальной эстетики ему принадлежит теоретическое обоснование учения об аффектах (зависимость эмоций от музыкальных темпов). Брат Декарта говорил, что недостойно брату парламентского советника унижаться до того, чтобы быть математиком …
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ
38

Исаак Ньютон (1643 – 1727)
В рождественскую ночь 1642 года в Англии в семье фермера средней руки была большая сумятица. Родился мальчик такой величины, что его можно было выкупать в пивной кружке. Через 22 года, во время Великой чумы 1664-1665 г.г. этот молодой человек, только что получивший в Кембридже звание бакалавра искусств, уехал в свою родную деревню Вулсторп.
За эти два года он открыл здесь, что белый свет может быть разложен на лучи различных цветов, изобрел математический анализ, сформулировал закон всемирного тяготения, а затем вывел из него кеплеровы законы движения планет. Этого молодого человека звали Исаак Ньютон.
Надпись на его надгробии в Вестминстерском аббатстве, в Лондоне, гласит:
«Пусть смертные радуются,
что среди них жило такое украшение рода человеческого».
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ
38

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 – 1716)
Весь мир узнал его по изданным трудам,
Был даже край родной с ним вынужден считаться;
Уроки мудрости давал он мудрецам,
Он был умнее их: умел он сомневаться.
Вольтер
Великий немецкий философ, физик и математик. Один из самых Всеобъемлющих гениев за всю историю человечества. Одновременно с Ньютоном создал дифференциальное и интегральное исчисление, исходя из геометрических задач. Лейбницу принадлежит большинство обозначений и терминов математического анализа, используемых в настоящее время. Он создал большую математическую школу. Петр I во время своих Неоднократных встреч с Лейбницем в Германии (1697, 1711-1712, 1716) консультировался с ним по вопросам Распространения просвещения в России и плана создания Академии наук в Петербурге и пожаловал Его званием тайного советника юстиции русской службы.
ВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИ
38

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Учись применять математику. (Математика без формул). Выпуск 1. / Ю.В. Пухначев, Ю.П. Попов. – М.: «Знание», 1977.
Эстетика урока математики: Пособие для учителей / И.Г. Зинкевич. – М.: Просвещение, 1981.
Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. ред. М.Д. Аксенов. – М.: Аванта+, 2000.
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 кл. образовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и другие; Под редакцией А.Н. Колмогорова. – 13-е изд. – М.: Просвещение, 2003.
ЭЛЕКТРОННЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
38