Конспект урока «Преобразование выражений, содержащих степени с дробным показателем»

Тема: «Преобразование выражений, содержащих степени с дробным показателем»

“Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь”. (М.В.Ломоносов)

Цели урока:

образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Степень с рациональным показателем”; проконтролировать уровень усвоения материала; ликвидировать пробелы в знаниях и умениях учащихся;

развивающие: формировать навыки самоконтроля учащихся; создать атмосферу заинтересованности каждого ученика в работе, развивать познавательную активность учащихся;

воспитательные: воспитывать интерес к предмету, к истории математики.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: оценочные листы, карточки с заданиями, дешифраторами, кроссвордами для каждого учащегося.

Предварительная подготовка: класс разбит на группы, в каждой группе руководитель - консультант.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

Учитель: Мы закончили изучение темы “Степень с рациональным показателем и её свойства”. Ваша задача на этом уроке, показать, как вы усвоили изученный материал и как вы умеете применять полученные знания при решении конкретных задач. На столе у каждого из вас есть оценочный лист. В него вы будете вносить свою оценку за каждый этап урока. В конце урока вы выставите средний балл за урок.

Оценочный лист

Ф/И/ учащегося__________________________________________

Задание	Кроссворд	Разминка	Работа в тетради	Уравнения	Проверь себя (с\р)	Итого
Оценка	C	C	C	C	C	C

II. Проверка домашней работы.

Взаимопроверка с карандашом в руках, ответы зачитываются учащимися.

III. Актуализация знаний учащихся.

Учитель: Известный французский писатель Анатоль Франс сказал в свое время: “Учиться надо весело.…Чтобы поглощать знания надо поглощать их с аппетитом”.

Повторим необходимые теоретические сведения в ходе разгадывания кроссворда.

По горизонтали:

1. Действие, с помощью которого вычисляется значение степени (возведение).

2. Произведение, состоящее из одинаковых множителей (степень).

3. Действие показателей степеней при возведении степени в степень (произведение).

4. Действие степеней, при которых показатели степеней вычитаются (деление).

По вертикали:

5. Число всех одинаковых множителей (показатель).

6. Степень с нулевым показателем (единица).

7. Повторяющийся множитель (основание).

8. Значение 10⁵ : ( 2³ • 5⁵ ) (четыре).

9. Показатель степени, который обычно не пишут (единица).

IV. Математическая разминка.

Учитель. Повторим определение степени с рациональным показателем и его свойства, выполним следующие задания.

1. Представить выражение х²² в виде произведения двух степеней с основанием х, если один из множителей равен: х², х^5,5, х^1\3, х^17,5, х⁰

2. Упростить:

а) х^2\3 = х

б) у^5\8 у^1\4 : у^1\8 = у

в) с^1,4 с^-0,3 с^2,9

3. Вычислить и составить слово, используя дешифратор.

Выполнив это задание, вы, ребята, узнаете фамилию немецкого математика, который ввел термин - “показатель степени”.

1) (-8)^1\3 2) 81^1\2 3) (3\5)^-1 4) (5\7)⁰ 5) 27^-1\3 6) (2\3)^-2 7) 16^1\2 * 125^1\3

Слово: 1234567 (Штифель)

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

V. Письменная работа в тетрадях (ответы открываются на доске).

Задания:

1. Упростить выражение:

(х-2): (х^1\2 -2^1\2) (у-3): (у^1\2 – 3^1\2) (х-1): (х^2\3-х^1\3+1)

2. Найти значение выражения:

( х^3\8 х^1\4 :) ⁴ при х=81

VI. Работа в группах.

Задание. Решить уравнения и составить слово, используя дешифратор.

Карточка № 1

1) Х^1\3=4; 2) у^-1=3\5; 3) а^1\2= 2\3; 4) х^-0,5 х^1,5 = 1; 5) у^1\3 =2; 6) а^2\7а^12\7 = 25; 7) а^1\2 : а = 1\3

Слово: 1234567 (Диофант)

Карточка № 2

1) Х^1\3=4; 2) у^-1= 3; 3) ( х+6)^1\2 = 3; 4) у^1\3 =2; 5) (у-3)^1\3=2; 6) а^1\2 : а = 1\3

Cлово: 123456 (Декарт)

Карточка № 3

1) а^2\7а^12\7 = 25; 2) (х-12)^1\3 =2; 3) х^-0,7 х^3,7 = 8; 4) а^1\2 : а = 1\3; 5) а^1\2= 2\3

Cлово: 123451 (Ньютон)

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Учитель. Все эти ученые внесли свой вклад в развитие понятия “степень”.

VII. Исторические сведения о развитии понятия степени (сообщение учащегося).

Понятие степени с натуральным показателем сформировалось ещё у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Степени некоторых чисел использовались при решении отдельных задач учеными Древнего Египта и Вавилона.

В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта “Арифметика”, в которой было положено начало введению буквенной символики. Диофант вводит символы для первых шести степеней неизвестного и обратных им величин. В этой книге квадрат обозначается знаком с индексом r; куб – знаком k c индексом r и т.д.

Из практики решения более сложных алгебраических задач и оперирования со степенями возникла необходимость обобщения понятия степени и расширения его посредством введения в качестве показателя нуля, отрицательных и дробных чисел. К идее обобщения понятия степени на степень с ненатуральным показателем математики пришли постепенно.

Дробные показатели степени и наиболее простые правила действии над степенями с дробными показателями встречаются у французского математика Николая Орема (1323–1382 гг.) в его труде “Алгоритм пропорций”.

Равенство, а⁰ =1 (для а не равного 0) применял в своих трудах в начале ХV века самаркандский ученый Гиясаддин Каши Джемшид. Независимо от него нулевой показатель был введен Николаем Шюке в ХV веке. Известно, что Николай Шюке (1445–1500 гг.), рассматривал степени с отрицательными и нулевым показателями.

Позже дробные и отрицательные, показатели встречаются в “Полной арифметике” (1544 г.) немецкого математика М.Штифеля и у Симона Стевина. Симон Стевин предположил подразумевать под а^1/n корень .

Немецкий математик М.Штифель (1487–1567 гг.) дал определение а⁰=1 при и ввел название показатель (это буквенный перевод с немецкого Exponent). Немецкое potenzieren означает возведение в степень.

В конце ХVI века Франсуа Виет ввел буквы для обозначения не только переменных, но и их коэффициентов. Он применял сокращения: N, Q, C – для первой, второй и третьей степеней. Но современные обозначения (типа а⁴, а⁵) в XVII ввел Рене Декарт.

Современные определения и обозначения степени с нулевым, отрицательным и дробным показателем берут начало от работ английских математиков Джона Валлиса (1616–1703) и Исаака Ньютона (1643–1727).

О целесообразности введения нулевого, отрицательных и дробных показателей и современных символов впервые подробно писал в 1665 г. английский математик Джон Валлис. Его дело завершил Исаак Ньютон, который стал систематически применять новые символы, после чего они вошли в общий обиход.

Введение степени с рациональным показателем является одним из многих примеров обобщение понятий математического действия. Степень с нулевым, отрицательным и дробными показателями определяется таким образом, чтобы к ней были применены те же правила действий, которые имеют место для степени с натуральным показателем, т.е. чтобы сохранились основные свойства первоначального определённого понятия степени.

Новое определение степени с рациональным показателем не противоречит старому определению степени с натуральным показателем, то есть смысл нового определения степени с рациональным показателем сохраняется и для частного случая степени с натуральным показателем. Этот принцип, соблюдаемый при обобщении математических понятий, называется принципом перманентности (сохранения постоянства). В несовершенной форме его высказал 1830 г. английский математик Дж.Пикок, полностью и четко его установил немецкий математик Г.Ганкель в 1867 г.

VIII. Проверь себя.

Самостоятельная работа по карточкам (ответы открываются на доске).

Вариант 1

1. Вычислить: (1 балл)

27^2\3 

2. Упростить выражение: по 1 баллу

а) х^1\2 х ^3\4 б)( х^-5\6 )^-2\3

в) х^-1\3 : х^3\4  г) (0,04х^7\8)^-1\2

3. Решить уравнение: (2 балла)

х^1\3 = 4 

4. Упростить выражение: (2 балла)

(а + 3а^1\2): (а^1\2+3)

5. Найти значение выражения: (3 балла)

(У^1\2 -2)^-1 - (У^1\2 +2)^-1 при у=18

Вариант 2

1. Вычислить: (1 балл)

81^3\4

2. Упростить выражение: по 1 баллу

а) х^1,6 х ^0,4 б)( х^3\8 )^-5\6

в) х^3\7 : х^-2\3 г) (0,008х^-6\7)^-1\3

3. Решить уравнение: (2 балла)

х^1\4 = 2

4. Упростить выражение: (2 балла)

(в^1,5с- вс^1,5): (в^0,5- с^0,5)

5. Найти значение выражения: (3 балла)

(х^3\2+х^1\2): (х^3\2-х^1\2) при х=0,75

IX. Подведение итогов урока.

- Какие формулы и правила вспомнили на уроке?

- Проанализируйте свою работу на уроке.

Оценивается работа учащихся на уроке.

Х. Домашнее задание. К: Р IV (повторить) ст.156-157 № 4 (а-в), № 7 (а-в),

Дополнительно: № 16

Приложение

Оценочный лист

Ф/И/ учащегося__________________________________________

Задание	Кроссворд	Разминка	Работа в тетради	Уравнения	Проверь себя (с\р)	Итого
Оценка	C	C	C	C	C	C

Карточка № 1

1) Х^1\3=4; 2) у^-1=3\5; 3) а^1\2= 2\3; 4) х^-0,5 х^1,5 = 1; 5) у^1\3 =2; 6) а^2\7а^12\7 = 25; 7) а^1\2 : а = 1\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 2

1) Х^1\3=4; 2) у^-1= 3; 3) ( х+6)^1\2 = 3; 4) у^1\3 =2; 5) (у-3)^1\3=2; 6) а^1\2 : а = 1\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 3

1) а^2\7а^12\7 = 25; 2) (х-12)^1\3 =2; 3) х^-0,7 х^3,7 = 8; 4) а^1\2 : а = 1\3; 5) а^1\2= 2\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 1

1) Х^1\3=4; 2) у^-1=3\5; 3) а^1\2= 2\3; 4) х^-0,5 х^1,5 = 1; 5) у^1\3 =2; 6) а^2\7а^12\7 = 25; 7) а^1\2 : а = 1\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 2

1) Х^1\3=4; 2) у^-1= 3; 3) ( х+6)^1\2 = 3; 4) у^1\3 =2; 5) (у-3)^1\3=2; 6) а^1\2 : а = 1\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 3

1) а^2\7а^12\7 = 25; 2) (х-12)^1\3 =2; 3) х^-0,7 х^3,7 = 8; 4) а^1\2 : а = 1\3; 5) а^1\2= 2\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 1

1) Х^1\3=4; 2) у^-1=3\5; 3) а^1\2= 2\3; 4) х^-0,5 х^1,5 = 1; 5) у^1\3 =2; 6) а^2\7а^12\7 = 25; 7) а^1\2 : а = 1\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 2

1) Х^1\3=4; 2) у^-1= 3; 3) ( х+6)^1\2 = 3; 4) у^1\3 =2; 5) (у-3)^1\3=2; 6) а^1\2 : а = 1\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Карточка № 3

1) а^2\7а^12\7 = 25; 2) (х-12)^1\3 =2; 3) х^-0,7 х^3,7 = 8; 4) а^1\2 : а = 1\3; 5) а^1\2= 2\3

Дешифратор

Л

Т

Н

Р

Ш

О

Ь

И

Е

Ф

К

А

Д

Ю

9\4

9

5

11

-2

4\9

20

5\3

1\3

1

3

8

64

2

Вариант 1 1. Вычислить: (1 балл) 272\3  2. Упростить выражение: по 1 баллу а) х1\2 х 3\4 б)( х-5\6 )-2\3 в) х-1\3 : х3\4  г) (0,04х7\8)-1\2 3. Решить уравнение: (2 балла) х1\3 = 4  4. Упростить выражение: (2 балла) (а + 3а1\2): (а1\2+3) 5. Найти значение выражения: (3 балла) (У1\2 -2)-1 - (У1\2 +2)-1 при у=18

Вариант 2 1. Вычислить: (1 балл) 813\4 2. Упростить выражение: по 1 баллу а) х1,6 х 0,4 б)( х3\8 )-5\6 в) х3\7 : х-2\3 г) (0,008х-6\7)-1\3 3. Решить уравнение: (2 балла) х1\4 = 2 4. Упростить выражение: (2 балла) (в1,5с- вс1,5): (в0,5- с0,5) 5. Найти значение выражения: (3 балла) (х3\2+х1\2): (х3\2-х1\2) при х=0,75

6