Этапы развития систем счисления

Эволюция систем счисления

Определения

Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определённым правилам с помощью символов некоторого алфавита , называемых цифрами .

Числа: под числом понимается его величина, а не символьная запись. Например, 123, 1010011, CXL

Цифры – символы, при помощи которых записывается число. Например, 0, 1, 2, … I, V, X, L, …

Алфавит – это набор цифр . {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

{0, 1}

{0, 1, … , A, B, C, D, E, F}

Унарная система счисления

простейшая и самая древняя

Для записи любых чисел используется всего один символ:

1

|

• |

2

||

• ||

3

|||

• |||

4

||||

• ||||

5

|||||

• |||||

зарубка.

узелок

палочка

ГРУППЫ СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ

Аддитивные системы счисления

Используется не одна, а несколько цифр. Они могут изображаться как угодно, но разные цифры должны выглядеть по-разному.

Для того, чтобы прочесть число, нужно было сложить значения всех цифр. Поэтому такие системы назвали аддитивными ( add добавлять, складывать, англ.).

Египетская нумерация

В Египте единицы записывали палочками , а десяток палочек заменяли на изображение пут для коров , десяток пут - одна мерная веревка , и т. д.

1

10

100

1 000

10 000

100 000

1 000 000

10 000 000

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. Удобств для счета никаких.

Задание:

=1 205

=1 023 029

Нумерация индейцев Майя

Задание:

20+20+5+5+5+1+1+1+1 = 59;

5+5+5+1 = 16;

20+1+1+1 = 23

Записывались цифры числа в столбик, начиная со знаков , затем знаки , а потом больших значений и заканчивая меньшими.

Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной.

Древнерусская система счисления

В старину на Руси применялась система счисления, с помощью которой сборщики податей заполняли квитанции и делали записи в податной тетради.

Задание:

= 1 232 руб. 24 коп.

Алфавитные аддитивные системы счисления

Римляне

Славяне

Греки

Евреи

Арабы

Сирийцы

Для записи чисел использовалась большая часть алфавита того народа, который использовал эту систему.

Древняя греческая нумерация

В древнейшее время в Греции была распространена аттическая нумерация .

Числа 50, 500, 5000 обозначались комбинациями знаков 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1000.

Числа в пределах первого десятка тысяч записывались так:

Задание:

=7800

=382

Аттическая нумерация была вытеснена у греков более компактной буквенной нумерацией, так называемой ионийской системой .

Первые девять букв обозначали единицы от 1 до 9, следующие девять – десятки от 10 до 90, остальные четыре – сотни от 100 до 400.

Славянская глаголическая нумерация

Система была создана для записи чисел в священных книгах западных славян .

Использовалась нечасто, но достаточно долго: с VIII по XIII в.

По организации в точности повторяет греческую нумерацию.

Задание:

800 + 60 + 3 = 863

Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

Славянская кириллическая нумерация

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодием в IX веке.

До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. Запись числа, использованная славянами аддитивная:

Задание:

800 + 60 + 3 = 863

Римская система счисления

Цифры обозначаются буквами латинского алфавита. Чтобы выделить числа в тексте, над ними рисовали черту: LXIV. Иногда черту рисовали и сверху, и снизу: XXXII — в частности, так принято выделять римские цифры в русском рукописном тексте.

I – 1 (палец),

V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев) ,

X – 10 (две ладони) ,

L – 50,

C – 100 ( Centum ) ,

D – 500 ( Demimille ) ,

M – 1000 ( Mille )

Римская система счисления

Правило :

• не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)
• не ставят больше трех одинаковых цифр подряд. Комбинация из 4-х одинаковых цифр заменяется комбинацией с правилом вычитания - если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы: 40 = XXXX = XL (50-10)

Примеры :

MDC X L I V =

– 1

= 1644

+ 5

+ 50

– 10

+ 100

+ 500

1000

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CCC

LXXX

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

14

Римская система счисления

Примеры:

Число 32 в римской системе счисления имеет вид:

XXXII = (X+X+X)+(I+I)= 30+2

Число 444 (в десятичной записи 3 одинаковые цифры), в римской системе счисления будет записано в виде:

CDXLIV = 400+40+4 = (D-C)+(L-X)+(V-I)

Число 1974 в римской системе счисления имеет вид:

MCMLXXIV= 1000+900+50+20+4 = M+(M-C)+L+(X+X)+( I V)

Задание : запишите числа в римской системе счисления

3768 =

МММ DCCLXVIII

2983 =

ММ CMIICIII

1452 =

М CDLII

1999 =

М CMXCIX

14

14

Задания:

• Запишите в десятичной системе счисления римские числа:

• XI X; 2) L X ; 3) C X L; 4) C D LX IX;

5) CMXLVI; 6) CCMLXXX; 7) MDCXLVIII ; 8) MMCXC .

2. Запишите в римской системе счисления:

• 13 ; 2) 99 ; 3) 666 ; 4) 444 ; 5) 1692 ;

6) 146; 7) 301; 8) 959; 9) 2078; 10) 699.

• 1 9 ; 2) 60 ; 3) 140 ; 4) 4 6 9 ;

5) 946; 6) 880; 7) 1648 ; 8) 2190 .

1) XIII; 2) XCIX; 3) DCLXVI; 4) CDXLIV; 5) MDCXCII ;

6) CIVVI; 7) CCDI; 8) CMLIX; 9) MMLXXVIII; 10) DCXCIX.

3 . Выполните действия и запишите результат в римской системе счисления:

1) XXII – V; 2) CV – LII; 3) XCIX + XIX; 4) MCM + VIII;

5) XX : V; 6) X * IV; 7) LXVI : XI ; 8) XXIV * VII.

1) 17=XVII; 2) 53=LIII; 3) 118=CXVIII; 4) 1908=MCMVIII; 5) 4=IV; 6) 40=LX; 7) 6=V1; 8) 168=CLXVIII.

4. Какие десятичные числа записаны с помощью римских цифр? Выделите разряды:

1) MMMCCDXXXIII; 2) DCCLXXVII; 3) DCIX; 4) MCMXCVI; 5) MMII; 6) MMCCDXIII; 7) XLVII; 8) CCMVIII.

1) 3 333 ; 2) 777 ; 3) 60 9; 4) 1996 ; 5) 2002; 6) 2313; 7) 47; 8) 808 .

Мультипликативные системы счисления

Для записи чисел используется определенное количество цифр, которые могут принимать разные значения в зависимости от расположения в записи числа. Такие системы счисления были только у народов с очень хорошо развитой математикой.

Чтобы "собрать« число используется умножение ( multiplication англ.). Например, запись числа 1999 означает:

1 х 1000 + 9 х 100 + 9 х 10 + 9.

Такая система счисления годится для записи чисел, и она очень удобна для счета.

Китайская нумерация

Эта нумерация использовала те же принципы, что и современная арабская, которой мы пользуемся.

Возникла в Китае около 4 000 лет назад.

1 х 1000 = 1000

5 х 100 + 4 х 10 + 8 = 548

Задание:

=2425

Вавилонская нумерация

Цифры имели клинообразный вид - писали на глиняных табличках палочками треугольной формы.

Ту роль, которую у нас играет число 10, в вавилонской нумерации играет число 60.

Эту нумерацию называют шестидесятиричной .

3

единица

десяток

пробел

разделение разрядов

нуль

20

32

59

Задание:

5 х 60 + 2 = 302

1 х 60 х 60 + 2 х 60 + 5 = 3725

Арабская нумерация

Арабские цифры сложились в Индии около 400 г. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г., а примерно в 1200 г. ее начали применять в Европе, где арабские цифры стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские»

Арабская нумерация вначале была буквенной. Традиционные арабские цифры являются видоизменёнными начертаниями индийских цифр, приспособленными к арабскому письму.

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000. С их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка для указания пустующего разряда. И нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему.

Арабская нумерация

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграла книга «Об индийском счёте», написанная в начале IX века Мухаммедом Ал Хорезми.

В XII веке эта книга была переведена на латинский язык и сыграла очень большую роль в развитии европейской арифметики и внедрении индо-арабских цифр.

Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски "сыфр"), означающее буквально « пустое место ». Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

В России до конца XVII века сохранялась славянская нумерация.

При Петре I возобладала так называемая "арабская нумерация".

Леонардо Пизанский

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке.

Начало использования арабских цифр в Европе было положено итальянским математиком средневековой Европы Леона́рдо Пиза́нски м , известным как Фибоначчи . Он долгое время жил на Востоке, где и познакомился с математикой арабов.

Значительную часть усвоенных им знаний он изложил в своей выдающейся «Книге абака», которая содержит почти все арифметические и алгебраические сведения того времени,

По этой книге многие поколения европейских математиков изучали индийскую позиционную систему счисления.