Занимательная математика в решениях и рассуждениях
От качества, глубины и объема знаний, которыми овладевает подрастающее поколение, в значительной мере зависит дальнейший прогресс нашего общества.
И поэтому сегодня актуальной становится проблема научить учеников мыслить, решать задачи не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, творческих поисков оригинальности, изобретательности.
В таких задачах учащиеся не знают заранее ни способа их решения, ни того, на каком учебном материале основывается решение. Чтобы выполнить такое упражнение, нужно всесторонне учесть взаимосвязи между данным и искомым, правильно оценить отдельные компоненты задачи, поданного в нестандартной форме, понять свойства величин и зависимости между ними, которые непосредственно не указаны в условии, но вытекают из определенных закономерностей, причинных зависимостей.
Задачи логического направления стимулируют детей к активной умственной деятельности, к творческому поиску, развивают логическое мышление, сообразительность, комбинаторные способности, а главное — способствуют осознанию математических закономерностей, формированию навыков сознательного выбора действий, практических умений и в целом повышают культуру мышления.
Опыт показывает, что сильные ученики с интересом решают такие задачи, проявляют творческую самостоятельность, наслаждаются радостью победы. А эмоции, вызванные решением нестандартных творческих задач, пережитые человеком в школьном возрасте, могут пробудить в ней вкус к умственной деятельности, оставить свой след в уме и характере человека на долгие годы, а может быть, и на всю жизнь.
1. Половину расстояния от села до города велосипедист проехал со скоростью 20 км/час, а вторую половину расстояния — со скоростью 10 км/час. На обратном пути из города он ехал так, что половину времени, за который вернулся из города в село он проехал со скоростью 20 км/час, а вторую половину времени двигался со скоростью 10 км/час. Когда велосипедист проехал весь путь быстрее: из села в город или наоборот?
Решения. При поездке из деревни в город со скоростью 20 км/ч (большей) велосипедист проехал только половину расстояния. А на обратном пути в деревню с такой же скоростью (большей) он проехал половину всего времени. Итак, обратный путь велосипедист проехал быстрее, то есть за меньший промежуток времени.
2. Два села находятся на одном и том же берегу реки. Дорога, соединяющая их, проходит вдоль реки. Из одного села в другое одновременно отправились велосипедист и лодочник. Скорость велосипедиста i лодки в стоячей воде одинаковы. Скорость велосипедиста на всем пути не изменялась, а течение реки изменяя скорость движения лодки. Продолжительность остановок и у велосипедиста, и у лодочника была одинаковой. Кто быстрее вернулся обратно?
Решения. Лодка по течению шла меньше времени, чем против течения, поэтому лодка с уменьшенной скоростью шла больше времени, чем с увеличенной скоростью, а скорость велосипедиста не менялась. Он вернулся обратно быстрее лодочника.
3. В феврале одного года понедельники трижды приходились на нечетные числа. Каким днем недели было 25 февраля?
Указание: сумма двух нечетных чисел является четным числом, а четного и нечетного – нечетное.
Рассуждения. В неделе 7 дней. Если один понедельник пришелся на нечетное число, то следующий на четное и т. д. Чтобы три понедельника пришлись на нечетные числа, необходимо, чтобы в феврале было 5 понедельников. Это возможно только в високосном году, то есть, когда в феврале 29 дней. В этом случае понедельники будут 1, 8, 15, 22, 29 февраля. Тогда 25 февраля — четверг.
4. Лев может съесть овцу за 2 ч, волк — за 3 ч, а собака — за 6 часов. За какое время они вместе съели бы овцу?
Рассуждения: Лев -2 часа.
Лев — по 6 час. — 3 овцы.
Волк — 3 часа.
Волк — за 6 час. -2 овцы.
Собака -6 час.
Собака — за 6 часов. -1 овцу.
За? час. — 1 овца
Вместе за 6 часов. — 6 овец
а за 1 час. — 1 овца
Ответ: за 1 час.
5. У Андрея и Бориса вместе 11 орехов. У Андрея и Володи — 12 орехов, у Бори и Володи — 13 орехов. Сколько всего орехов у Андрея, Бориса и Володи вместе.
Рассуждение 1: обозначим количество орехов у Андрея — А, у Бориса — Бы, у Володи — В. Тогда условие задачи можно записать тремя равенствами:
А + Б = 11
А + В = 12
Б + В = 13
Сложив равенства (1), (2) i (3), получаем:
2А + 2Б + 2В = 11 + 12 + 13 = 36.
Отсюда, А + Б + В = 36: 2 = 18 орехов.
Рассуждение 2: из равенства (1) и (2) видно, что у Вовы на один орех больше, чем у Бори: 12 – 11 = 1 (орех). Так как у Вовы и Бориса вместе 14 орехов, то можно узнать, сколько у них было бы орехов, если бы у Вовы было столько же орехов, сколько и у Бориса: 13 — 1 = 12 (орехов). Тогда у Вовы 6 + 1 = 7 (орехов), а у Андрея 11 – 6 = 5 (орехов), а у всех вместе 5 + 6 + 7 = 18 (орехов).
6. Один хозяин, желая испытать двух мудрецов, сказал им: “Перед вами 3 колпака. Один — черный и два белых. Вам наденут по колпаку. Мне интересно знать, кто догадается первым, какого цвета у него колпак”. После этого отвели мудрецов в темную комнату и там надели им на головы по белом колпаке. Затем привели их обратно. Долго они смотрели друг на друга. Наконец один из них воскликнул: “На мне белый колпак!” Как рассуждал этот мудрец?
Рассуждения мудреца: если на мне черный колпак, то другой мудрец воскликнул бы, что на нем белый колпак, но он молчал. Значит, на мне белый колпак.
7. На вопрос, сколько весит рыба, рыбак ответил: “Хвост весит 150 г, голова столько, сколько хвост и половина туловища, а туловище - сколько голова и хвост вместе. Сколько весит целая рыбина?
Рассуждения: Вес головы равен весу хвоста плюс (+) половина веса туловища. Из условия задачи получается, что вес туловища равен весу хвоста плюс (+) половина веса туловища, плюс (+) вес хвоста. Значит половина веса туловища равен весу двух хвостов, то есть 150 х 2 = 300г, а все туловище весит 600г и тогда вес головы равна: 150 + 300 + 450.
Тогда вес рыбы равен: 450 + 600 + 150 = 1200г = 1кг 200г.
8. “Как лиса и волк рыбу делили”.
Лиса и волк раздобыли много рыбы.
- Давай, волк, поделим рыбу поровну, - говорит лиса.
- Давай! Только я в математике слаб, дели ты, лиса.
Бросила лиса волку 1 рыбу, а себе 2.
— Вот тебе, волк, одна рыбка, а мне две.
- А не мало?
- Слушай дальше. Тебе 3, мне 4, тебе 5, мне 6, тебе 7, мне 8.
Разделила лиса всю рыбу, каждый раз поочередно увеличивая рыбу на одну. (Последний раз бросила себе лиса 20 штук и на этом рыба закончилась.) Доволен волк думает, что поровну разделили.
- А как, по-вашему, кто получил больше рыбы и на сколько?
Решения 1 способ:
Волк получил:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = (1 + 19) + (3+ 17) + (5+ 15) +
+ (7 + 13) + (9 + 11) = 20 х 5= 100 рыбин.
Лисы досталось:
2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 1 = 14 + 16 + 18 + 20 = (2 + 20) + (4 + 18) = (6 + 16) +
+ (8 + 14) + (10 + 12) = 22 х 5= 110 рыбин.
Лиса получила на 10 рыбок больше.
Решения 2 способ:
Эта задача на разностное сравнение: лиса каждый раз бросала себе на одну рыбину больше, всего бросала 10 раз и потому получила на 10 рыбок больше.
9. В Аравии умирал старый человек. Все свое имущество, 17 верблюдов, он завещал сыновьям, причем старший должен был получить половину, средний — треть, а младший — девятую часть. После смерти отца сыновья не знали, что делать, потому что 17 не делилось без остатка ни на 2, ни на 3, ни на 9. Долго спорили братья, вдруг подъехал к ним на верблюде мудрец. Узнал о споре и дал братьям мудрый совет, которая и помогла разделить имущество так, как завещал отец. Что это был за совет?
Умозаключения: Мудрец отдал братьям своего верблюда, верблюдов стало 18. Тогда их поделили в соответствии с отцовского завещания. Старший получил 9, средний 6, младший 2. Всего 17. А мудрец забрал своего верблюда и поехал дальше.
10. Мужчина, женщина и двое детей должны переправиться на противоположный берег реки при помощи лодки. Мужчина и женщина весят по 100кг, а дети по 50кг. Как им быть, если лодка вмещает до 100кг и каждый из них умеет грести.
Рассуждения. Сначала переправляются двое детей. Один из них возвращается, после этого переправляется отец. Второй ребенок возвращает лодки. Снова переправляются двое детей и один из них возвращает лодку. Переправляется мать, а ребенок снова возвращает лодку. Двое детей опять переправляются на другой берег.
11. По улице шла девочка. Встретив дедушку, она поздоровалась. Дедушка сказал: “Добрый день, маленькая девочка!” Девочка возразила, что она не имела, и когда дедушка спросил сколько ей лет, она ответила: в 2раза младше мамы, а мама на 5 лет младше отца. Вместе нам 60 лет”. Сколько лет девочке?
Рассуждения: Годы девочки примем за 1 часть, тогда годы мамы составят две части, а отца — две части + 5 лет. И так, пять частей составляют 55 лет, а на одну часть приходится 55 : 5 = 11 лет.
12. Высота дуба 20м. За день муравей поднимается по нему на 5м вверх, а за ночь спускается на 4м вниз. За сколько дней муравей доползет до вершины дуба?
Рассуждения: за 16 дней. За каждые из первых 15 суток муравей поднимался на 1м. Следовательно, за 15 суток он поднялся вверх на 15м. А за 16-й день муравей поднимется еще на 5 м и достигнет вершины.
13. Математик, оказавшись случайно в небольшом городке и желая хоть как-нибудь провести время, решил подстричься. В городке было только 2 мастера (у каждого своя парикмахерская). Заглянув к одному мастеру, математик увидел, что хозяин небрежно подстрижен. В салоне второго мастера было идеально чисто, а владелец его безупречно аккуратно подстрижен. Поразмыслив, математик отправился стричься к первому парикмахеру. Объясните причину странного, на первый взгляд, решения математика.
Рассуждения: поскольку в городке лишь 2 парикмахера, каждый мастер вынужден стричься у другого. Математик выбрал того из мастеров, кто лучше подстриг своего конкурента.
14. Который сейчас день и который час, если от девяти часов субботнего вечера минутная стрелка часов сделала ровно 40 оборотов?
Рассуждения: Каждый оборот минутная стрелка делает за час, а 40 оборотов — 40 часов. Через сутки (24 часа) воскресенье, 9 часов вечера, а еще через 3 часа — 12 часов ночи, после чего начался понедельник. Таким образом, до двенадцати часов ночи прошло 27 часов (24 + 3 = 27), осталось 13 часов (40 — 27 = 13) на понедельник. Итак, имеем 1 час дня, понедельник.
15. В классе 37 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в котором будут отмечать свой день рождения не меньше, чем 4 ученика этого класса?
Соображения: если в каждом месяце будут отмечать день рождения 3 ученика, то за год таких учащихся будет 36 (3 х 12 = 36). В классе есть 37 учеников. Следовательно, в одном месяце день рождения будут отмечать 4 ученика. Если хоть в один из месяцев будут отмечать день рождения менее 3 ученика, то обязательно будет
и такой месяц, в котором будут отмечать день рождения более 4 ученика.
16. Три воскресенья одного месяца приходятся на нечетные даты. Причем одна из них — на 17 число. Сколько дней в этом месяце?
Рассуждения: если одно воскресенье 17-го числа, то следующий — 24-го. До 17-го числа воскресенье были 10-го и 3-го. Таким образом, с 3-го до 24-го воскресенья приходятся на 2 нечетные даты, а потому третье воскресенье, которое приходится на нечетную дату, будет 31-го числа. Следовательно, в месяце 31 день.
17. Шесть одинаковых бочек вмещают 28 ведер воды. Сколько ведер воды вмещают 15 таких бочек?
Соображения: 15 бочек можно представить как 6 бочек + 6 бочек + 3 бочки. 6 бочек вмещают 28 ведер воды. Тогда 3 бочки вмещают 14 ведер воды. Итак, 15 бочек вмещают 70 ведер воды.
18. В воскресенье рыбак ловил рыбу 3 раза: утром, днем и вечером. Весь улов - 3кг, причем, утром он поймал в 3 раза больше, чем вечером, а днем столько же, скілъки и вечером. Сколько рыбы поймал рыбак утром и вечером?
Рассуждения: Вылов рыбы вечером — одна часть, утром — три части, а днем — одна часть. Итак, весь улов составляет 1 + 3 + 1 = 5 частей; 3кг = 5 частей, тогда на одну часть приходится 3000: 5 = 600г (это вечерний улов),
600 х 1800г (утренний улов).
19. На уроках домоводства девочки научились поджаривать кусочки хлеба. Поджарив одну сторону кусочка, на что уходит 2 мин., его переворачивают на другую сторону и жарят еще 2 минуты. Сестра решила угостить нас 3 кусочками, но на сковороду можно положить только 2 кусочка. Но она не растерялась и поджарила 3 кусочка по 6 мин. Каким образом она это сделала?
Рассуждения: через 2 мин. девочка перевернула один кусочек, а на место второго положила третий кусочек. Через 4 минуты первый кусочек сняла, третий перевернула и положила на вторую сторону второй кусочек.
20. Саша тратит на дорогу в школу 12 минут, а Марийка 18 мин. Через 3 минуты после выхода Маши в школу вышел Саша. Через какое время он ее догонит?
Рассуждения: на полпути. Поскольку Маша тратит на дорогу в школу в полтора раза больше времени, чем Саша, то через 6 минут Саша ее догонит, пройдя половину пути, а Маша за то же время также пройдет половину всего пути.
21. Светлана прекратила читать книжку на 53-й странице и обратила внимание на то, что первая страница, с которой она начала сегодня читать, имеет номер, отличный от 53, но записан теми же цифрами. Сколько страниц она прочитала?
