Функция. Свойства функции.
План:
- Определение функции.
- Область определения. Область значений.
- Способы задания функции.
- Возрастание, убывание функции.
- Ограниченность функции.
- Наибольшее, наименьшее значения функции.
- Выпуклость, вогнутость функции.
- Четность, нечетность функции.
- Элементарные функции, их свойства и графики.
Определение функции
Зависимость между двумя переменными х и у,
при котором каждому значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у называют функцией .
Обозначают у = f( х ) ,
где х – независимая переменная (аргумент),
у = f(x) – зависимая переменная (функция).
у
у
у
у 2
у 1
х о
у 1
х 2
у 1
х 1
х о
О
О
х
О
х
х
у 2
у 2
Не является функцией
Не является функцией
Является функцией
3
![Область определения функции Множество всех допустимых значений х (аргумента, независимой переменной) при которых выражение имеет смысл. Обозначение: D(f ) = [ а; b] Область значений функции Множество всех значений функции у = f (х), где х принадлежит Х (области определения). Обозначение: Е( f) = [m ; n] у у n О х О х b a m 4](http://fsd.intolimp.org/html/2025/01/05/i_677a74b73b472/img_phpfPMMML_b1520079584_3.jpg)
Область определения функции
Множество всех допустимых значений х (аргумента, независимой переменной) при которых выражение имеет смысл.
Обозначение: D(f ) = [ а; b]
Область значений функции
Множество всех значений функции у = f (х),
где х принадлежит Х (области определения).
Обозначение: Е( f) = [m ; n]
у
у
n
О
х
О
х
b
a
m
4
Способы задания функции
Описанием (с помощью естественного языка)
Например:
«Каждому отрицательному числу соответствует – 1, нулю – число 0, а каждому положительному – число 1»
Аналитический (формулой )
- у = 2х + 5;
- f(x) =
Графический
Табличный.
у
n
n 2
1
2
1
4
3
4
9
16
5
25
6
36
7
49
8
64
9
10
81
100
х
5
f(x 2 ) . (Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции ) Возрастание Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве D(f) , если для любых двух точек х 1 и х 2 области определения, таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство f(x 1 ) 2 ) . (Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции) у у О x x О Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ. 6" width="640"
Свойства функции
- Убывание
Функцию у = f(x) называют убывающей на множестве D(f) , если для любых двух точек х 1 и х 2 области определения, таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство f(x 1 ) f(x 2 ) .
(Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции )
- Возрастание
Функцию у = f(x) называют возрастающей на множестве D(f) , если для любых двух точек х 1 и х 2 области определения, таких, что х 1 х 2 , выполняется неравенство f(x 1 ) 2 ) .
(Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)
у
у
О
x
x
О
- Термины «возрастающая», «убывающая» функция объединяют общим названием МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ.
6
m .) Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве D(f) , если все значения функции на области определения меньше некоторого числа. ( Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) .) у у m О x m x О Если функция ограничена снизу , то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m . Если функция ограничена сверху , то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = m . Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют ограниченной. 7" width="640"
Ограниченность функции
- Функцию у = f(x) называют ограниченной снизу на множестве D(f) , если все значения функции на области определения больше некоторого числа.
( Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) m .)
- Функцию у = f(x) называют ограниченной сверху на множестве D(f) , если все значения функции на области определения меньше некоторого числа.
( Если существует число m такое, что для любого значения х области определения выполняется неравенство f(x) .)
у
у
m
О
x
m
x
О
- Если функция ограничена снизу , то ее график целиком расположен выше некоторой горизонтальной прямой у = m .
- Если функция ограничена сверху , то ее график целиком расположен ниже некоторой горизонтальной прямой у = m .
- Если функция ограниченна и сверху и снизу, то ее называют ограниченной.
7
Наибольшее (наименьшее) значения функции
- Число m называют наименьшим значением функции у = f(x) на множестве D(f) , если:
- в области определения существует такая точка хо , что f( хо ) = m ;
- для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f( хо ) .
Обозначение: У наим. = у(хо) = m .
- Число M называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве D(f) , если:
- в области определения существует такая точка хо , что f( хо ) = M ;
- для всех х из области определения выполняется неравенство f(x) f( хо ) .
Обозначение : у наиб. = у(хо) = M .
у
у
M
х о
О
х
О
х
х о
m
- Если у функции существует У наиб . , то она ограничена сверху .
- Если функция не ограничена сверху , то У наиб. не существует .
- Если у функции существует У наим , то она ограничена снизу .
- Если функция не ограничена снизу , то У наим. не существует.
8
Выпуклость, вогнутость функции
- Функция выпукла вверх , если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.
- Функция выпукла вниз , если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.
у
у
О
О
x
x
9
Четность, нечетность функции
Функция у = f (х) называют
нечетной , если:
- Область определения ее симметрична относительно оси ОУ;
- Для любого х из D (у) выполняется равенство f (- x) = - f(x) .
Функция у = f (х) называют четной , если:
- Область определения ее симметрична относительно начала координат;
- Для любого х из D (у) выполняется равенство f (- x) = f(x) .
у
у
О
x
О
x
График симметричен относительно оси ОУ.
График симметричен относительно начала координат .
10
Алгоритм исследования функции
- Область определения.
- Область значений.
- Четность, нечетность функции.
- Возрастание, убывание функции.
- Ограниченность функции.
- Наибольшее, наименьшее значения функции.
- Непрерывность функции.
- Выпуклость, вогнутость функции .
10
0 1. D ( f ) = R ; 2. Не является ни четной ни нечетной; 3. Если k 0 , возрастает, если k 4. Не ограничена ни снизу, ни сверху; 5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6. Функция непрерывна; 7. 8. Не имеет выпуклости. m О х у K m О х 12" width="640"
У = kx + m
У = kx + m
Линейная функция
у
K 0
1. D ( f ) = R ;
2. Не является ни четной ни нечетной;
3. Если k 0 , возрастает,
если k
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6. Функция непрерывна;
7.
8. Не имеет выпуклости.
m
О
х
у
K
m
О
х
12
0 1. 2. Нечетная функция; 3. Если k 0 , то функция убывает на D(f) , если k 4. Не ограничена ни сверху, ни снизу; 5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений; 6. Функция терпит разрыв в точке х = 0; 7. 8. Если k 0 , то функция выпукла вверх при х и выпукла вниз при х 0 ; Если k 0, и выпукла вниз при х О x у K О х 13" width="640"
Функция
у
K 0
1.
2. Нечетная функция;
3. Если k 0 , то функция убывает на D(f) ,
если k
4. Не ограничена ни сверху, ни снизу;
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;
6. Функция терпит разрыв в точке х = 0;
7.
8. Если k 0 , то функция выпукла вверх при х
и выпукла вниз при х 0 ;
Если k 0,
и выпукла вниз при х
О
x
у
K
О
х
13
Функция
1. D ( f ) = [0 ; + ∞) ;
2. Не является ни четной ни нечетной;
3. Возрастает;
4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;
5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е( f ) = [0 ; + ∞)
8. Выпукла вверх.
у
х
О
14
![Функция 1. D ( f ) = R ; 2. Функция четная; 3. Возрастает на [ 0; + ∞) ; убывает ( - ∞ ; 0 ] 4. Не ограничена сверху, ограничена снизу; 5. Наибольшего значения нет, наименьшее значение 0, при х = 0; 6. Функция непрерывна; 7. Е( f ) = [0 ; + ∞) 8. Выпукла вниз. у О х 15](http://fsd.intolimp.org/html/2025/01/05/i_677a74b73b472/img_phpfPMMML_b1520079584_14.jpg)
Функция
1. D ( f ) = R ;
2. Функция четная;
3. Возрастает на [ 0; + ∞) ;
убывает ( - ∞ ; 0 ]
4. Не ограничена сверху,
ограничена снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е( f ) = [0 ; + ∞)
8. Выпукла вниз.
у
О
х
15
0 a х О 16" width="640"
Функция
1. D ( f ) = R ;
2. Функция четная;
3. Возрастает на [ 0; + ∞) ; убывает ( - ∞ ; 0 ]
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу;
5. Наибольшего значения нет,
наименьшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е( f ) = [0 ; + ∞)
8. Выпукла вниз .
1. D ( f ) = R ;
2. Функция четная;
3. Убывает на [ 0; + ∞) ; возрастает ( - ∞ ; 0 ]
4. Не ограничена снизу, ограничена сверху;
5. Наименьшего значения нет,
наибольшее значение 0, при х = 0;
6. Функция непрерывна;
7. Е( f ) = ( - ∞ ; 0 ] ;
8. Выпукла вверх.
у
у
у
О
х
a 0
a
х
О
16
Исследуйте функцию по графику
16
