Преемственность в обучении математики на разных ступенях обучения.

Реферат

Тема: «Преемственность в обучении математики на разных ступенях обучения»

Содержание

Введение …………………………………………………………….3

Глава I

1. Преемственность в обучении – как психолого – ………..…..5

педагогическая проблема

1. Преемственность- дидактический принцип ………………....5

обучения

1. Педагогический мониторинг и диагностика качества………9

обучения

1.4. Методические рекомендации по преемственности……..…12

Глава II ..………………………………………………………….…14

Заключение …….……………………………………………………19

Библиографический список ……………………………………..…21

Приложение …………………………………………………………22

Введение

...Природа не терпит пустоты, и если мозг человека частично не занят, он все равно заполнится, но уже не знаниями, а чепухой. /Дмитрии Лихачев/

На современном этапе развития системы образования в нашей стране на первый план выдвигается задача ее модернизации с целью достижения высокого качества подготовки к жизни подрастающих поколений. В ходе решения этой задачи большое внимание уделяется возможностям вариативных программ и технологий обучения и воспитания, которые уже имеют достаточно большое распространение. Идеи развития образования активно реализуются и в направлении математической подготовки учащихся.

Отмечая прогрессивный характер этого явления, следует, сказать, что в то же время оно ведет к определенной дезинтеграции процесса математического развития школьников. В этой связи приобретает особую актуальность решение проблемы эффективной реализации преемственности при обучении математике. О значимости решения этой проблемы говорит и то обстоятельство, что ей всегда уделяли внимание ведущие психологи, дидакты и методисты.

Разработка методик реализации преемственности при обучении математике сегодня ведется большим количеством исследователей.

Преемственность - взаимосвязь разных этапов обучения, которая строится на единых психолого-педагогических требованиях. На всех этапах должны действовать единые цели, задачи и дидактические принципы методической системы, которые учитывают возрастные особенности учеников, их интересы и потребности. Есть два варианта решения проблемы преемственности в системе общего развития школьников. Первый – полный вариант – изучение основ системы, прохождение соответствующего курса

3

переподготовки, изучение стартового (для основной школы) уровня детей в развитии и предметных знаниях, умениях и навыках, принятие учеников такими, какими они вышли из начальной школы, использование комплекта учебно-методической литературы, разработанного для 5 и 6 классов. Второй – переходный – возможно использование другого учебно-методического комплекта при реализации базовых установок системы общего развития школьников.

В педагогической энциклопедии есть утверждение о том, что преемственность в обучении состоит в установлении необходимой связи и правильного соотношения между частями учебного предмета, четких требований, предъявляемых к знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, логики подачи и приемов объяснения учебного материал, а также приемов организации его усвоения.

4

Глава I

1.1. Преемственность как закономерность развития нашла отражение в психолого-педагогической литературе, в специальных исследованиях.

Весьма ценным представляется определение преемственности, которое дает Э.А. Баллер: «Преемственность – это связь между различными этапами или ступенями развития как бытия, так и познания, сущность которой состоит в сохранении тех или иных элементов целого или отдельных сторон его организации при изменении целого как системы, т. е. при переходе его из одного состояния в другое». Если каждый процесс, отличаясь от других, вместе с тем имеет и нечто общее с другими процессами, то следует вывод, что именно наличие этого общего обусловливает преемственность и, как частное ее проявление, – повторяемость в процессе развития данного явления.

История развития педагогической мысли накопила большой концептуальный материал, имеющий важное значение для целостного осмысления проблемы преемственности, дальнейшей разработки ее научных основ и путей практической реализации.

1.2. Проблема преемственности в развитии математического образования школьников весьма актуальна. Являясь одним из дидактических принципов обучения, преемственность характеризуется требованиями, предъявляемыми к основным компонентам педагогической системы и обеспечивающими сохранение качества и углубления содержания при переходе от одной ступени обучения к другой. Принцип преемственности предполагает установление необходимых связей и правильных соотношений между различными частями учебного материала и организацией учебного процесса на разных ступенях его изучения.

   Преемственность – это дидактический принцип и психологическая категория, поэтому традиционно конструирование содержания и выбор

5

приемов деятельности требуют учета следующих трех аспектов:

• логико-содержательного, который является определяющим при построении учебной дисциплины. При этом понятия, законы и факты располагаются в логике развития изучаемой отрасли знаний;

• логико-психологического, предполагающего дидактическую переработку этого содержания с учетом возрастных особенностей учащихся;

• ценностно-смыслового, который предполагает включение воли, эмоций, чувства и действий ученика в процессе освоения предметного содержания.

   Указанные три аспекта в зависимости от стоящих перед обучением целей и задач претерпевают некоторые изменения.

С изменением целей обучения принцип преемственности сохраняется. Преемственность рассматривается не только как усложнение содержания и увеличения объема передачи эффективных способов деятельности.

   Изменение содержания, принципа преемственности требует иных подходов к построению школьного курса математики.

   Общая цель современного математического образования школьников – формирование всесторонне образованной и инициативной личности, до сознания которой доведена система взглядов, идейно-нравственных, культурных и эстетических принципов, норм поведения, которые складываются в ходе учебно-воспитательного процесса и готовят подрастающее поколение к активной деятельности и непрерывному образованию в быстро меняющемся мире.

Образование в XXI веке все меньше связывается с конкретным временным моментом или периодом, в который приобретаются знания и умения. Оно становится не только потенциалом успеха в повседневной деятельности, но и функцией, и средством управления. Такая роль образования сегодня определяется динамикой развития, резким усложнением

6

проблем (экологии, качества жизни, безопасности жизнедеятельности, конкуренции, изменения структуры интересов и пр.). Само развитие производства и общества требует непрерывного образования, а это означает необходимость “включения” его в повседневную деятельность человека.

Современное образование призвано обеспечить у школьника готовность к дальнейшему развитию. Это, значит, “учить детей так, чтобы даже самые глубокие изменения в окружающем мире не смогли поставить их в тупик. Ориентировать ребенка на возможное обучение, в создании которого ему так или иначе придется участвовать, а не на мифологическое прошлое, продолжающее жить в виде стереотипных формул, рекомендаций и установок, и даже не на многоликое, еще как следует не осмысленное настоящее – мы все равно не угадаем, что из него останется жить завтра и послезавтра” (из сборника программ Ассоциации “Школа 2100”).

Необходима ориентация на творческое начало в учебной деятельности школьников, в частности, на потребность и умение самостоятельно находить решение не встречавшихся ранее учебных и внеучебных задач.

Проект Федерального компонента государственного образовательного стандарта предполагает необходимость сохранения традиционной для российской школы ориентации учащихся на приобретение фундаментальных знаний и умений, составляющих основу миропонимания, на всемерное развитие математического мышления. Предполагается знакомство учащихся с некоторыми основными закономерностями, учениями, теориями, концепциями и гипотезами математической науки, с методами ее исследования и языком математики. В ней получают дальнейшее развитие такие сквозные направления, как гуманизация, социология, философия, которые должны способствовать формированию общей культуры молодого поколения.

   Логико-содержательный аспект преемственности в проекте Федерального компонента государственного образовательного стандарта не

7

только сохраняет, но и углубляет системную составляющую. Школьная математика отражает в своем содержании современное состояние математической науки, что предопределяет выделение в ее содержании систем взаимосвязанных знаний, образующих единую определенную целостность.

   Поскольку проект стандарта предполагает изучение математических знаний на всех трех ступенях обучения, математические знания в начальной школе должны “вплетаться” в существующие системы основной школы. В процессе изучения математики в сознании школьников должна формироваться математическая картина мира, которая отражает представления человека о пространственных формах и количественных отношениях – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Она является, несомненно, основополагающим элементом математической культуры человека. Математическая культура учащихся формируется на протяжении всего школьного образования. К элементам математической культуры относят, в частности, овладение языком научных фактов – основой эмпирических знаний. Язык математических названий во многом определяет особенности математического языка в целом.

Знание определенного объема математической номенклатуры служит одним из признаков математической культуры. Теоретические знания объективно сложнее эмпирических, поэтому для учащихся начальной школы наиболее доступными будут именно эмпирические знания. Следовательно, уже на первой ступени обучения математическим знаниям должны быть заложены элементы математической культуры.

   Применительно к обучению математическим знаниям в начальной школе на сегодняшний день остается нерешенным вопрос об оптимальной сложности изучаемого материала. В дидактике имеется несколько показателей сложности учебного материала, в частности отношение к

8

теоретическому и эмпирическому уровню познания. Теоретические знания, сложнее. Соотношение доли эмпирических знаний относительно доли теоретических в содержании начального обучения – одна из ключевых проблем преемственности между начальной и основной ступенями обучения.

   Для развития познавательного интереса у учащихся содержание должно включать темы, требующие обсуждения какой-либо нравственной проблемы, ценностной ориентации или принятия решения. Следовательно, математическое содержание для начальной школы должно отбираться с учетом идеи гуманизации и идеи практической направленности математического образования, как в формировании знаний, так и умений, по возможности приближенных к реальным жизненным ситуациям.

Такой подход к построению содержания в начальной школе согласуется с целями математического образования в основной школе и предусматривает гуманизацию и усиление практической направленности обучения, что, в свою очередь, способствует обеспечению преемственности.

1.3. Одним из важных направлений преемственности в обучении  является педагогический мониторинг и диагностика качества обучения. Анализ процесса внедрения вариативных систем начального образования свидетельствует, что их реализация невозможна без диагностико-технологического обеспечения, которое позволяет определить проблемы и трудности в обучении и организовать необходимую коррекционную работу с применением эффективных технологий.

Как писал Аристотель «… развитие навыков должно предшествовать развитию ума». Навык здесь рассматривается как необходимое условие развития ума, а их совершенствование - как важная составляющая развития детей, в итоге приводящая к успешности их в обучении. Из множества определений обучения наиболее точным, по нашему мнению, является «формирование умений и навыков, усвоение знаний». Последнее обстоятельство определяет выбор характера упражнений. На этапе

9

обеспечения эмоционального настроя лучше использовать самые простые упражнения по уяснению цели, ориентировке в предстоящей деятельности, накоплению словарного запаса, освоению терминологии, основных понятий; для развития речи надо использовать рассказ и пересказ, то есть репродукцию материала; прежде чем самостоятельно усваивать знания, надо поработать над учебными умениями, что способствует развитию воли; только после названных ступенек можно успешно усваивать знания, одновременно работая над развитием мышления и воспитанием нравственности. Задавшись определенными критериями для оценки признаков преемственности в обучении, можно рассчитать частоту проявления каждого из них для любой совокупности учащихся, то есть количественно оценить состояние общего образования в классе, школе, городе.

Преемственность в обучении – установление необходимой связи и правильного соотношения между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения; понятие преемственности характеризует также требования, предъявляемые к знаниям и умениям учащихся на каждом этапе обучения, формам, методам и приёмам объяснения нового материала и ко всей последующей работе по его усвоению. Преемственность в изложении учебного материала и выборе способа деятельности по овладению этим содержанием происходит с учетом следующих факторов: содержания и логики математической науки и закономерностей процесса усвоения знаний. Преемственность должна осуществляться и между видами деятельности учащихся при усвоении учебного материала. Учащиеся должны выступать не как объект обучения, а становиться субъектами учебной деятельности.

Выполняя задания, совершая поиск ответа, учащиеся от урока к уроку получают возможность наблюдать, размышлять, применять волевые усилия. Одновременно учитель должен продолжать развивать у учащихся умения: анализировать и систематизировать, абстрагировать и конкретизировать,

10

классифицировать и группировать.

Принцип обучения на высоком уровне трудности предусматривает создание в процессе обучения таких условий, при которых овладение знаниями, умениями и навыками происходит с напряжением интеллектуальных знаний и эмоциональных сил, а также воли.

Принцип ведущей роли при обучении теоретическим знаниям в значительной мере определяет содержание учебного материала, которое обеспечивает обучение на высоком уровне трудности. Этим материалом являются математические понятия, их отношения, свойства, законы и закономерности. Особое место отводится усвоению терминов, так как за каждым термином стоит понятие со всеми его существенными признаками. Ученики познают теоретический материал в процессе специально организованной учителем поисковой деятельности, основанной на анализирующем наблюдении, сравнении, сопоставлении.

Принцип изучения программного материала быстрыми темпами ориентирует учителя на построение учебного процесса в соответствии с этой закономерностью умственной деятельности. Смысл принципа осознания школьниками самого процесса учения и себя в нем заключается, в определенной степени, в познании пути протекания учебной деятельности, ее закономерностей. Для реализации этого принципа на уроке создавать ситуации, в которых ученик должен выполнять самоконтроль, самооценку, самоанализ, что постепенно приводит его к осознанию своей учебной деятельности, а затем и своего внутреннего мира.

Принцип работы над развитием всех учащихся, как сильных, так и слабых, предусматривает создание при обучении условий для развития каждого ученика. Задания необходимо строить так, чтобы при работе над тем или иным вопросом как для сильных, так и для слабых учеников нашлась бы посильная и полезная работа, которая способствовала бы их продвижению в развитии.

11

Задача школы научить учащихся мыслить, учиться, действовать творчески. На учителя возлагается обязанность квалифицированно решать эти задачи.

1.4. Методические рекомендации по преемственности 

1. Необходимо заранее готовить детей 3 (4) классов к переходу в среднее звено, позаботиться о стыковке программы, чтобы в 5 классе не наблюдалось резкого перехода в организационных формах и содержании обучения.

2. Не допускать либерализации в оценке знаний учащихся, не ставить завышенные оценки, быть объективным, строгим и принципиальным. При переводе в следующий класс и в особенности при переходе из начального звена в среднее у учителя должна быть уверенность, что знания соответствуют стандарту образования.

3. Учителям предметникам в 5 классах создавать условия психологического комфорта, благоприятствовать умственной деятельности школьников.

4. Необходима специальная подготовка учителей, которые будут работать в 5 классе.

5. Избегать порочной практики, которая присутствует в отдельный школах, когда факультативные часы используется в качество дополнительных занятий по математике и другим предметам, а не с целью развития логического мышления ребенка.

6.  Учитывать возрастные особенности ребенка, не допускать перегрузки памяти, взяв за основу в работе проверенную дидактическую цепочку «увидел- услышал – сделал – запомнил - понял!».

7. На всех уроках развивать у учащихся самостоятельность в выработке и принятии решений учебного, трудового характера. Учить творчески мыслить.

8. Опираясь на передовые, совершенные методы обучения

12

поддерживать и развивать интерес к учению, предмету.

9. Вместе со школьным психологом составить подробные психолого-педагогические характеристики учащихся класса и вести целенаправленную и постоянную работу с ним.

10. Каждому учителю проанализировать свою профессиональную деятельность, объективно оценив успехи и недостатки и наметить план действий по улучшению качества обучения и воспитания учащихся.

11. Составить план индивидуальной работы по ознакомлению с достижениями в области психологии и педагогики и наметить пути и средства их использования в практической работе.

 

13

Глава II

Основным принципом, положенным в основу программы начальной школы, является принцип преемственности между начальной и средней школой, а именно: преподавание математики в начальной школе должно основываться на фундаментальных математических понятиях, а не сводиться к изучению арифметических операций над натуральными числами и решению простейших текстовых задач. Этот принцип является основой построения единого курса математики 1 -9.

Одна из основных задач курса - обучение школьников построению, исследованию и применению математических моделей окружающего мира.
В дополнительные темы по математике в 5-6 классах входит сбалансированное сочетание арифметического и геометрического материала, что значительно развивает важные качества мышления, а это является пропедевтикой изучения геометрии. Благодаря этому учащиеся четко проводят логические рассуждения, делают обоснованные выводы.

Рассмотрим некоторые аспекты преемственности, обеспечении повторения ранее изученного материала в ходе усвоения новых знаний и подготовке к дальнейшему обучению.

Обучение математике в 5 классе начинается с длительного повторения того, что дети должны были усвоить в начальной школе. Повторение захватывает даже существенную часть второй четверти. При изучении алгебры и геометрии в 7 классе как нечто новое преподносится то, что дети должны были усвоить в 5-6 классах.

Ребенка учили 3 или 4 года в начальной школе. Если научили, то зачем тратить время? Если не сумели научить за 4 года, то не ясно, на что можно надеяться, стремясь восполнить пробелы за 1,5 месяца. Совершенно то же самое можно сказать о повторении в 7 классе того материала, который дети

должны усвоить в предыдущих классах.

14

Забывание – безусловное свойство человеческой памяти. Раз есть забывание – необходимо повторение. «Повторение – мать учения». Можно организовать повторение цивилизованно, не расходуя на него драгоценное учебное время, столь необходимое для развития детей и обучения их доказательно мыслить.

Повторение ранее изученного эффективно лишь в том случае, когда оно органично связано с изучением нового материала. Если повторение организуется само по себе, вне связи с новыми для учеников знаниями, ценность его ничтожно мала.

Надо организовать повторение в ходе изучения того материала, который органично связан с ранее изученным.

Самое важное из того, что изучалось в начальной школе, - это арифметические действия с натуральными числами. Следовательно, надо думать над тем, что из программы 5 класса органично связано с вычислительными навыками и о том, как организовать повторение.

Складывать и вычитать, умножать и делить десятичные дроби невозможно, если не усвоены соответствующие действия с натуральными числами. Тем самым выявлен материал, на котором удобно организовать повторение. Имеющиеся в комплекте для 5-го класса формулировки определений и вычислительных правил предназначены не для заучивания, а для того, чтобы ученики на них реально опирались в ходе оперирования с новыми знаниями. Работа строится таким образом, чтобы формулировки запомнились без всякого заучивания, в ходе их использования. Усвоению материала способствует применение в учебном процессе моделирования. (Приложение 1)

Организованное повторение не только позволяет вспомнить, как выполняются арифметические действия с натуральными числами, но и подготавливает учеников к выводу о том, как обеспечивается сложение и

15

вычитание десятичных дробей. Соответствующее правило сформулировано так. Десятичные дроби складывают и вычитают так же, как натуральные числа по разрядам, начиная с младших разрядов.

Алгоритм проще и понятнее и в сознании детей устанавливается прочная связь нового материала с ранее изученным. Это, во-первых, препятствует забыванию ранее изученного материала, а во-вторых, делает усвоение новых знаний более сознательным и прочным.

При обучении в 5-6 классах совершенно недостаточно внимания уделяется подготовке детей к обучению в следующих классах. Например, геометрические фигуры здесь изучаются, как и в начальной школе, на уровне узнавания. А в седьмом классе на не подготовленные к этому головы детей обрушивается «докажи». Детям этого возраста вполне доступны:

· алгоритм составления уравнений по условию текстовых задач,

· усвоение способа работы с определениями,

· знакомство с простейшими доказательствами.

Надо научить детей переводить информацию текста задачи с языка русского на язык математический (записывать информацию в виде числовых или буквенных выражений). (Приложение 2). В этом случае нет необходимости в решении большого числа однотипных задач. Высвободившееся время можно потратить на решение творческих задач, до которых обычно у учителя «руки не доходят». Но, самое главное, обеспечивается подготовка детей к решению задач в следующих классах.

В 5-6 классах целесообразно отказаться от «узнавания» и перейти к распознаванию. Т.е. приступить к обучению работе с определениями.

Первым шагом обучения может стать схематическая запись определений, фиксирующая сознание детей на том, в чем именно состоит работа с определением. (Приложение 3). Если ученики будут систематически сталкиваться с доступными им доказательствами, то удастся избежать тех трудностей, которые возникают при переходе к изучению систематического

16

курса геометрии.

Через все классы с 1 по 9 проходит новая содержательная линия, включающая решение комбинаторных задач, знакомство с элементами описательной статистики и формирование начальных вероятностных представлений (Приложение 6).

Углубленное развитие получает вероятностно-статистическая линия курса, которая обладает огромным воспитательным потенциалом. Изучение этого материала влияет на развитие интеллектуальных способностей, усиливает прикладной аспект математики, способствует развитию интереса к предмету.

Раньше в традиционных учебниках также использовались геометрические темы, но не в гаком объеме, в основном это была планиметрия, что потом затрудняло изучение геометрии га 3 ступени. Сейчас курс стереометрии представлен в достаточном объеме, например:
5 класс
· геометрические тела
· параллелепипед и пирамида.

Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы. но и через достаточное количество занимательных задач. Занимательные задачи — инструмент для развития мышления ведущего к формированию творческой деятельности школьника. К таким задачам относятся задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи. Например задача 5-го класса:

«Читая книги Жюль Верна, вы не раз встречались с единицами длины, выраженными в милях. Вот выдержка из книги «Таинственный остров»: «Расстояние между двумя крайними сочками, на которые опиралась бухта, составляло около 8 миль. В полумиле от берега был расположен островок,

17

поперечник его в самом широком месте не превышал четверти мили». Выразите данные величины в метрах, если одна миля равна примерно 1852 метра». Или старинная задача 7-го класса:

«Некто сказал другу: «Дай сто рублей, и я буду вдвое богаче тебя». Друг ответил: «Дай ты мне только 10, и я стану в 6 раз богаче тебя.» Сколько денег было у каждого?»

Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее:
1. способ решения занимательных задач не известен;
2. занимательные задачи способствуют поддержанию интереса к предмету.
Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как смекалка я сообразительность. Смекалка - это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений.

18

Заключение

Особая роль у учителя – субъекта учебной деятельности. Именно тип педагогической деятельности учителя достаточно жестко влияет на результаты развивающего обучения. Учитель включается в учебную деятельность в качестве одного из ее субъектов, осуществляя внутри нее функцию управления. Эта функция может быть успешной лишь при условии, что учитель остается субъектом педагогической деятельности и что эта деятельность по своим мотивам, целям, средствам и способам осуществления отвечает вполне определенным требованиям.

Основная идея системы развивающего обучения заключается в достижении возможно более высокой эффективности обучения для общего развития школьников, а не наоборот. Обучение должно действовать в зоне ближайшего развития, а не в зоне актуального развития. Для полноценного осуществления преемственности необходимо тщательное сопоставление программ начального и среднего звена. Необходимо выявить, какие темы в рамках того или иного учебного предмета уже начали изучаться. Знания, полученные по этим темам, следует расценивать как необходимые для дальнейшего освоения программы. Нельзя понимать дело так, что в 5 классе заново начинается формирование понятий. Недооценка возможностей учащихся не способствует их полноценному дальнейшему развитию.

Более того, даже при изучении номинально, т. е. по названию, новых пунктов программы очень важно увязывать их с уже пройденным в начальных классах материалом. Надо постоянно помогать учащимся осознавать движение своего познания.

Нужно всемерно сохранять в последующих классах тот стиль взаимоотношений, который складывался в соответствии с требованиями системы на протяжении начального обучения.

Таким образом, можно говорить о преемственности системы

19

образования на основе надежности формирования признаков каждой ступени, где имеет место частота их проявления. Уменьшение ее значений имеет место, когда нарушается преемственность между ступенями системы образования. Важным свойством преемственности является оценка результатов работы каждой ступени. После обработки полученной информации следует провести диагностику и дать рекомендации для предыдущей ступени, подобрать при этом необходимые технологии. Для решения данных задач нужны диагностические программы, наборы технологий.

В аспекте преемственности с учетом особенностей школ и классов отслеживалось качество обучения по всем параллелям, особенно в переходные периоды между ступенями. Исследования и обобщения многих лет такой работы позволили сделать выводы: если работа над учебными умениями и их совершенствование проводятся в логической последовательности начальная школа – основная школа, то потери хороших учеников незначительны, а, следовательно, сохраняется качество обучения.

20

Библиографический список

1. Батаршев А.В. Педагогическая система преемственности обучения в общеобразовательной и профессиональной школе / А.В. Батаршев. - СПб.: Ин-т профтехобразования, 1996. - 88 с.

2. Ванцян А.Г. Решение проблемы преемственности между начальным и основным звеном школы / А.Г. Ванцян // Б-ка "Вестник образования России". - 2007. - № 9. - С. 45-50.

3. Годник С.М. Процесс преемственности высшей и средней школы / С.М. Годник. - Воронеж, 1981. - 288с.

4. Квитова Л.Ф. Проблема преемственности - это проблема педагогического партнерства и сотрудничества / Л.Ф. Квитова // Начальная школа: плюс до и после. - 2007. - № 2. - С. 72-77.

5. Орешкина А.К. Теоретико-методологическое обоснование процесса непрерывного образования / А.К. Орешкина // Образовательная политика. - 2008. - № 1. - С. 18-19.

6. Просвиркин В.Н. Преемственность в системе непрерывного образования / В.Н. Просвиркина // Педагогика. - 2005. - №2. - С.41-46.

7. Волович М.Б. Преемственность при обучении математике в 5-6 классах /Математика, 2004, №33.

21

Приложение 1

«Десятичные дроби».

Перед знакомством со сложением и вычитанием десятичных дробей организовано повторение того, как можно складывать и вычитать с помощью разрядной сетки натуральные числа. Учебная модель «Разрядная сетка» представляет собой пособие, состоящее из одного ряда кармашков, в которые удобно вкладывать отдельные палочки или пучки палочек и карточки с цифрами, и еще двух рядов кармашков, куда вставляются только карточки с цифрами. Затем она также может быть использована и для обучения сложению и вычитанию десятичных дробей.

Итак, числа, стоящие в каждом из разрядов, удобно представлять себе с помощью палочек в разряде единиц и пучков палочек в остальных разрядах. Например, в разряде единиц числа 537 можно представить себе 7 палочек. В разряде десятков – 3 пучка, в каждом из которых 10 палочек, стянутых резиновым колечком. Каждый пучок – единое целое (десяток). Но, если снять резинку с любого пучка, то будем иметь 10 отдельных палочек.

В разряде сотен числа 537 можно представить себе 5 пучков-сотен. Такой пучок удобно представить себе так: 10 пучков-десятков, которые стянуты резиновым колечком в одно целое. Если резинку снять, то такой пучок распадется на 10 пучков, в каждом из которых 10 палочек.

Натуральные числа складывают и вычитают по разрядам, начиная с младших разрядов. При отыскании разности 507 – 79 рассуждать можно так.

В разряде единиц уменьшаемого 7 палочек. Надо уменьшить число палочек на 9. Чтобы иметь возможность это сделать, надо перенести пучок-десяток их разряда десятков уменьшаемого в разряд единиц. Но разряд десятков уменьшаемого пуст. Поэтому переносим пучок-сотню из разряда сотен уменьшаемого в разряд десятков и снимаем резиновое колечко, стягивающее этот пучок. Он распадается на 10 пучков-десятков. Оставляем 9

22

пучков-десятков в разряде десятков, а один переносим в разряд единиц. После этого в разряде единиц уменьшаемого окажется 17 палочек, в разряде десятков – 9 пучков-десятков, в разряде сотен – 4 пучка-сотни. Теперь легко выполнить вычитание по разрядам.

Наблюдения над работой учителей школы в классах развивающего обучения показали, что, работая по одним и тем же программам, используя одни и те же учебники, они, тем не менее, могут по-разному интерпретировать содержание и логику изложения учебного материала, по-разному понимать природу и функции учебной задачи, по-разному организовывать деятельность учащихся.

23

Приложение 2

Из 555 г шерсти связали лыжную шапку, шарф и свитер. Сколько шерсти пошло на каждое изделие, если на свитер потребовалось в 5 раз больше шерсти, чем на шапку, а на шарф на 5 г меньше, чем на шапку?

Решение.

· Первым шагом составления уравнения по условию задачи является обозначение одной из неизвестных величин буквой.

В задаче количество шерсти, которая пошла на изготовление свитера и шарфа, связывается с количеством шерсти, необходимом для изготовления шапки. Поэтому удобно обозначить буквой именно эту величину.

р г шерсти - пошло на шапку.

· Далее, читаем текст задачи и записываем имеющуюся здесь информацию в виде числовых или буквенных выражений.

«Из 555 г шерсти связали лыжную шапку, шарф и свитер». Эту информацию пока использовать не удается.

«? на свитер потребовалось в 5 раз больше шерсти, чем на шапку» можно записать в виде буквенного выражения:

5р г шерсти - пошло на свитер.

«…а на шарф на 5 г меньше, чем на шапку» можно записать в виде буквенного выражения:

(р – 5) г шерсти - пошло на шарф.

· Теперь можно возвратиться к той информации, которая не была использована: записать в виде буквенного выражения, что на все три изделия пошло 555 г шерсти. Получаем уравнение:

р + 5р + р – 5 = 555.

· Последние два шага алгоритма решения задачи – решение уравнения и запись ответа на вопросы задачи.

24

Приложение 3

Определение «Развернутым углом называется угол, стороны которого составляют прямую», можно заменить схематической записью: 

Эта схематическая запись разъясняется: фиксируются 4 вывода, (которые позволяет сделать любое определение).

1) Если АМС развернутый, то лучи МА и МС составляют прямую.

2) Если АМС не развернутый, то лучи МА и МС не составляют прямую.

3) Если лучи МА и МС составляют прямую, то АМС развернутый.

4) Если лучи МА и МС не составляют прямую, то АМС не развернутый.

Для схематической записи удобно использовать знак U, который не больше, чем подсказка: справедливы выводы «в обе стороны». Вот как может быть записан с помощью этого знака определение прямого угла.

(А - прямой ) U (А равен половине развернутого угла).

Четыре вывода из определения прямого угла ученики могут сформулировать сами.

1) Если М равен половине развернутого угла, то М прямой.

2) Если М не равен половине развернутого угла, то М не прямой.

3) Если М прямой, то М равен половине развернутого угла.

4) ЕслиМ непрямой, то М не равен половине развернутого угла.

Рассмотрим в качестве примера работы с определением задачу на доказательство того, что если один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, — прямой, то образовалось еще три прямых угла.

Дано: CMD прямой (рис.).

Доказать: Углы ВMD, АМС, АМВ – прямые.

Доказательство. При пересечении прямых АD и СВ образовалось четыре угла с общей вершиной М.

25

В задаче сказано, что CMD — прямой. Можно воспользоваться выводом 3 из определения прямого угла: CMD равен половине развернутого.

По условию, СМВ – развернутый (лучи MС и МВ образуют прямую СВ).

Луч MD делит развернутый угол на два угла. Один из них (угол CMD) равен половине развернутого. Значит, и второй (угол ВMD) тоже равен половине развернутого.

Можно воспользоваться выводом 1 из определения прямого угла: ВMD прямой.

Лучи MА и МD образуют прямую АD. Поэтому АМD – развернутый.

Луч MС разделил развернутый угол на два угла. Один из них (угол СMD) равен половине развернутого. Значит, и второй (угол АMС ) тоже равен половине развернутого. Из определения прямого угла следует, что АMС прямой.

Луч МА разделил развернутый угол СМВ на два угла. Один из них (АMС) – прямой, т.е. равен половине развернутого угла. Поэтому АМВ тоже равен половине развернутого угла, т.е. АМВ прямой.

26

Приложение 4

Вводная контрольная работа по математике. /5 класс/

Вариант 1

1. Найди значение выражений:

(169357 + 207851) : 93 – 302 •12

2. Построить прямоугольник со сторонами 3 см и 5 см. Найти его периметр и площадь.

3. Сравни и поставь знак ,

9 т 273 кг + 4 т 689 кг ... 13 т 852 кг 5 ч 35 мин – 55 мин ... 4 ч 80 мин

4. Реши уравнение: х : 807 = 906

5. Путь от одной станции до другой товарный поезд прошёл за 9ч., а пассажирский – за 6 ч. Найдите скорость пассажирского поезда, если скорость товарного поезда равна 40 км/ч.

6.* Расставь в записи 7•9+12:3-2 скобки так, чтобы значение этого выражения было равно 75.

Вариант 2

1. Найди значение выражений:

(136954 +103754):78 – 204 • 14

2. Построить квадрат со стороной 3 см. Найди его периметр и площадь.

3. Сравни и поставь знак ,

8 т 368 кг + 5 т 279 кг ... 13 т 547 кг 4 ч 25 мин – 45 мин ... Зч 80мин

4. Реши уравнение: у : 603 = 809

5. От города до села автомашина шла со скоростью 65 км/ч в течение 2 ч. Сколько времени потребуется велосипедисту на этот путь, если он будет двигаться со скоростью 13 км/ч?

6.* Расставь в записи 7 •9+12:3-2 скобки так, чтобы значение этого выражения было равно 23.

27

Приложение 5

Фрагмент урока по теме «Длина окружности».(6 класс)
1) Диаметр колеса 0,7м. Чему равна длина окружности этого колеса? Округли найденную    величину до сантиметров.
Учитель. Какими формулами можно пользоваться для вычисления длины окружности.
Учащиеся: C=2πR и С=πD.
Учитель. Какой мы воспользуемся и почему?
Учащиеся: Второй, так как в ней содержится переменная D, обозначающая диаметр окружности.
Так как в условии предлагается округление до сантиметров, переводим 0,7м в сантиметры и делаем вычисления.
С=πD
С=3,14∙70см=219,8см≈220см. 
2) Велосипед проехал 200м. Сколько оборотов совершило при этом колесо?
Учитель. Какое расстояние проезжает велосипед за один оборот?
Учащиеся: Расстояние равное длине окружности. 
Учитель. Какая зависимость между расстоянием (S), длиной окружности (С) и количеством оборотов (n)?
Учащиеся после обсуждения выводят формулу S= nС.
Учитель. Как из этой формулы посчитать n? 
Только после вывода формулы n , проводим вычисления. 200м=20000см
n =90,(90) ≈ 91(оборот)
3) Какое расстояние проехал этот велосипед, если его колесо совершило 1000 оборотов?
  S= nС.  S= 1000∙220см=220000см=2,2 км
4) Автомобиль проехал 15км, и каждое из его колес совершило при этом по 6000 оборотов. Чему равен радиус колес автомобиля?

28

Учитель. Ребята, мы с вами вывели формулу зависимости между расстоянием (S), длиной окружности (С) и количеством оборотов (n)? S= n∙С.
Давайте подставим в эту формулу другую C=2πR. Почему мы взяли эту формулу, ведь до этого мы работали с другой - С=πD?
Учащиеся: Потому что в этой задаче нам нужен радиус окружности. 
Учитель: Что у нас получится? S = n∙2πR. Кто сможет выразить из этой формулы радиус окружности (R)?
Немногие учащиеся получают формулу R . Но обязательно будут такие ученики! Только после вывода конечной формулы проводим вычисления.
R ≈40см.
Работа с формулами дает нам реализацию на уроке принципа обучения на высоком уровне трудности, с учетом меры трудности.

29

Приложение 6

1 класс • изображение условий задач с помощью графических моделей
2 класс • упорядоченный перебор вариантов
3 класс • игры на передачу изображения
5 класс • перебор возможных вариантов
• комбинаторные задачи
• дерево возможных вариантов
• случайные события
• возможно или невозможно
• достоверные, возможные и невозможные случайные события
• диаграммы и опрос общественного мнения
6 класс • комбинаторика
• частота и вероятность
• для тех, кому интересно

7 класс • описательная статистика
• перестановки
• графики вокруг нас
• для тех, кому интересно

8-класс • статистические характеристики (элементы высшей математики)
• вероятность равновозможных событий (теория вероятности)
• геометрические вероятности

9 класс • для тех, кому интересно

30