Практическое занятие по математике на тему: "Решение систем линейных уравнений методом Гаусса" (4 часа)

Практическое занятие № 2.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

1. Контроль знаний (по изученной теме)

Вопросы:

1. Дайте определение матрицы

2. Какие типы матриц Вам известны?

3. Что такое определитель?

4. Какие действия можно поизводить с матрицами, их свойства.

5. Определители вторго и третьего порядков, их свойства

6. Определение минора и алгебраического дополнения

7. Определение системя линейных уравнений

8. Понятие обратной матрицы, ее свойства

9. Охарактеризуйте метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Оценка устных ответов обучающихся

Ответ оценивается отметкой «5», если обучающийся:

• полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником, изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

• правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

• показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

• продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при отработке умений и навыков;

• отвечал самостоятельно без наводящих вопросов преподавателя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые обучающийся легко исправил по замечанию преподавателя.

Ответ оценивается отметкой «4», если

• он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

• в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;

• допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию преподавателя;

• допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию преподавателя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

• неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке обучающихся»);

• имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использовании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов преподавателя;

• обучающийся не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

• при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

• не раскрыто основное содержание учебного материала;

• обнаружено незнание или непонимание студентом большей или наиболее важной части учебного материала;

• допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов преподавателя.

1. Решение практических заданий (решение заданий у доски):

Решение упражнений по теме «Матрицы и действия над ними»:

Пример 1. Сложить и вычесть матрицы

, .

Решение:

1) + = = =;

2) – ===;

3) произведение не существует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует и произведения по той же причине.

Пример 2. Сложить, вычесть и перемножить матрицы

=, =.

Решение:

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 23, а матрица В – порядок 31;

2) так как матрицы А и В согласованны, то произведение матриц АּВ существует:

·=·==,

произведение матриц ВּА не существует, так как матрицы и несогласованны.

Пример 3. Сложить, вычесть и перемножить матрицы

=, =.

Решение:

1) суммы матриц, как и их разности, не существует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 32, а матрица В – порядок 23;

2) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом таких произведений будут матрицы разных порядков: ·=, ·=.

·=·=

= = ;

·=·= =

= = в данном случае АВ ≠ ВА.

Пример 4. Сложить, вычесть и перемножить матрицы

=, =.

Решение:

1) +===,

2) –= ==;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

= ≠, то есть матрицы А и В некоммутирующие.

Пример 5. Сложить, вычесть и перемножить матрицы

=, =.

Решение:

1) +===,

2) –===;

3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА, существует, так как матрицы согласованны:

·==·==;

·==·==

= = АּВ=ВּА, т. е. данные матрицы коммутирующие.

1. Работа по карточкам по теме «Матрицы и действия над ними» (у каждого обучающегося свое задание)

1. Найти сумму, разность, произведения двух матриц А и В.

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , ;

д) , ;

е) , ;

ж) , ;

з) , ;

и) , .

Ответы по теме «матрицы и действия над ними»

а) , ;

б) произведения АВ и ВА не существуют;

в) , ;

г) , ;

д) суммы, разности и произведения ВА матриц не существуют, ;

е) , ;

ж) произведения матриц не существуют;

з) , ;

и) , .

Задания на повышение оценки (для сильных обучающихся)

1. Вычислить (3А – 2В)·С, если

, , .

1. Найти , если

а) ; б) .

1. Найти матрицу Х, если 3А+2Х=В, где

, .

1. Найти АВС, если

а) , , ;

б) , , .

Ответы на задания повышенной сложности:

1. .

2. а) ; б) .

3. .

4. а) ; б) .

Оценка письменной работы обучающегося:

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

1. Практическая работа № 1 по теме: «Определители и их свойства»

1. Вычислить определители (по вариантам 1-3 варианты)

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

1. С помощью правила треугольников вычислить определители (1-3 варианты)

а) ; б) ; в) .

1. Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа.

2. Вычислить определители, предварительно упростив их:

а) ; б) ; в) .

5. Вычислить определитель методом приведения его к треугольному виду

.

Ответы к практической работе.

1. а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) –3.

2. а) –25; б) 168; в) 21.

3. а) –25; б) 168; в) 21.

4 а) 70; б) 18; в) –66;

5. –24.

Оценка практической работы обучающегося:

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

1. Решение упражнений по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»

Пример: решить систему уравнений методом Гаусса (разбор заданий у доски)

3x1-2x25x3+x4=3,

2x1-3x2+x3=5x=-3,

x2+2x2-4x4=-3,

x1-x2-4x3=9x4=22,

Решение: запишем вместо 1 уравнения 3 уравнение.

x1=2x2-4x=-3,

3x1-2x2-5x3+x4=3,

2x1-3x2+x3+5x4=-3,

x1-x2-4x3+9x4=22.

1)умножим 1 уравнение на (-3) и сложим со вторым уравнением, результат запишем во второе уравнение;

2) 1 уравнение умножим на (-2) и сложим с третьим уравнением, результат запишем в 3 уравнение;

3) 1 уравнение умножим на (-1) и сложим с четвёртым уравнением, результат запишем в 4 уравнение.

x1+2x2-4x4=-3,

-8x2-5x3+13x4=12,

-7x2+x3+13x4=3,

-3x2-4x3+13x4=25.

1) 2 уравнение умножим на (-7) и 3 умножим на 8.Затем полученные произведения сложим и запишем в 3 уравнение;

2) 2 уравнение умножим на (-3) и 4 уравнение умножим на 8. Затем полученные произведения сложим и запишем в 4 уравнение.

x1+2x2-4x4=-3,

-8x2-5x3+13x4=13,

43x3+13x4=-60,

-17x3+65x4=164.

Домножим 4 уравнение на (-5)

x1+2x2-4x4=-3,

-8x2-5x3+13x4=12,

43x3+13x4=-60,

-232x3=464.

1) x3=464: (-232)=-2,

2) 43 (-2)+13x4=-60,

13x4=-60+86,

13x4=26,

x4=2.

3)–8x2-5 (-2)+13 2=12,

–8x2+10+26=12,

-8x2=12-36,

-8x2=-24,

x2=3.

4)x1+2 3-4 2=-3,

x1+6-8=-3,

x1=-3-6+8,

x=-1.

Проверка:

1. 3 (-1)-2 3-5 (-2)==-3-6+10=2=12-9=3 3=3;

2. 2 (-1)-3 3+(-2)+5 2=-2-9-2+10=-13=10=-3 -3=-3;

3. –1+2 3-4 2=-1+6-8=-3 -3=-3;

4. –1-3-4 (-2)+9 2=-1-3+8+18=26-4=22 22=22.

Ответ: x1=-1; x2=3; x3=-2; x4=2.

1. Практическая работа № 2 по теме «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»

1. Решить системы уравнений методом Гаусса

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Оценка практической работы обучающегося:

Отметка «5» ставится, если:

• работа выполнена полностью;

• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

• допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

• допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

7. Дополнительные задания (по повышение оценки)

1. Найти обратную матрицу:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) ;

и) ; к) ; л) .

1. Доказать равенство :

а) , .

Ответы по теме «обратная матрица»

1. а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ;

з) ; и) ;

к) ; л) ;

2.а) , , =;

1. Домашнее задание

1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса

а)

б)

1. Найти обратную матрицу и проверить выполнение условия :

а) ; б) .

Рекомендуемая литература:

Основные источники:

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. –М.: Высшая школа, 2002, 495с.

2. Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов/ И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. –М.: ООО Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2003, 464с.

3. Пехлецкий И.Д. Математика. –М.: «Академия», 2012, 304с.

Дополнительная литература:

1. Зайцев И.А. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1991, 517 с.

2. Зайцев И.Л. Элементы высшей математики для техникумов. М.: Наука, 1974, 254 с.

3. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: ООО «Издательство Астрель», 2003, 991 с.

Интернет-ресурсы:

1. Электронная библиотечная система «Лань»