Лекции по физике на тему "ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН"

23

Физика колебаний и волн

1. Гармонический осциллятор.

Колебания – движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени (свободные, вынужденные, затухающие, автоколебания).

Колебания различной физической природы описываются одинаковыми характеристиками и уравнениями, поэтому к их изучению применяют единый подход.

Колебания встречающиеся в природе и технике, близки к гармоническим – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса.

Гармоническое колебание величины s описывается уравнением типа

s=Acos(ωt+φ.) или s=Asin(ωt+φ.).

Физические величины описывающие калебания: s, A, ω, φ, φ., T, ν.

Скорость колеблющейся точки: v=dx/dt=-Aωsin(ωt+φ.).

Ускорение колеблющейся точки: a=dv/dt=-Aω²cos(ωt+φ.)

Сила, действующая на колеблющуюся точку: F=ma=-mω²x

Энергия: кинетическая: T=mv²/2= ¼ mω²A²sin²(ωt+φ.)

x

потенциальная: П=-SFdx=½ mω²x²=¼ mω²A²cos²(ωt+φ.)

0

полная: E=T+П=¼mω²A² (полная механическая энергия при гармонических колебаниях сохраняется, т.к. упругая сила консервативна)

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний: d²s/dt²+ ω²s.

Гармоническое колебание можно представить в комплексной форме: x=Ae^i(ωt+φ.)(согласно формуле Эйлера: e^iα=cosα+isinα, следовательно, колеблющаяся величина определяется вещественной частью записанного гармонического колебания в комплексной форме). Такое представление позволяет заменить громоздкие тригонометрические преобразования простыми действиями над показательными функциями.

Гармоническое колебание можно представить графически:

1) график;

2) векторные диаграммы: из произвольной т.О на оси х под углом φ.откладывается вектор А, модуль которого равен амплитуде рассматриваемого колебания. Приводя вектор А во вращение с угловой скоростью ω, получаем, что проекция конца вектора будет перемещатся по оси х и принимать значения от –А до А, а колеблющаяся величина изменятся со временем по закону s=Acos(ωt+φ.).

Система совершающая свободные колебания (совершающиеся при отсутствии внешних воздействий) называется осциллятором. Гармоническим осциллятором называют механическую систему, совершающую гармонические колебания около положения устойчивого равновесия. Уравнением гармонического осциллятора является уравнение гармонического колебания.

Примерами гармонического осциллятора являются:

1. пружинный маятник – груз, подвешанный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы, T=2π√m/k;

2. физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку не совпадающую с центром масс тела, T=2π√J/mgl;

3. математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, колеблющейся пол лействием силы тяжести, T=2π√g/l;

4. колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности и конденсатора, T=2π√LC.

Сложение гармонических колебаний:

1. Одного направления и одинаковой частоты

Складываемые колебания	x1=A1cos(ωt+φ1) x2=A2cos(ωt+φ2)
Уравнение результирующего колебания	x= x1+ x2= Acos(ωt+φ)
Амплитуда результирующего колебания	A=A1+A2+2A1A2cos(φ2-φ1)
φ2-φ1=±2πm	A=A1+A2
φ2-φ1=±(2m+1)π	A=|A1-A2|
Начальная фаза	tgφ=(A1sinφ1+А2sinφ2)/(A1cosφ1+ A2cosφ2)

2) Биения – периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами.

Складываемые колебания	x1=Acosωt x2= Acos(ω+Δω)t (Δω«ω)
Уравнение результирующего колебания	x=(2Acos(Δωt/2)) cosωt
Амплитуда результирующего колебания	Aб=2Acos(Δωt/2)
Период биений	T=2π/Δω Частота биений равна разности частот складываемых колебаний

3) Взаимно перпендикулярных одинаковой частоты

Складываются колебания, совершающиеся во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Складываемые колебания	x=Acosωt y=Bcos(ωt+α)	Это уравнение эллипса, оси которого ориентированны относительно координатных осей произвольно(получается исключением t из складываемых уравнений).
Уравнение траектории результирующего колебания	x2/A2-2xycosα/AB+y2/B2 =sin2α

Это эллиптически поляризованные колебания – такие, когда траектория результирующего колебания описывает эллипс.

Свободные затухающие колебания – свободные колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системы с течением времени уменьшается.

Характеристики затухающих колебаний:

Декремент затухания: A(t)/A(t+T)=e^δT, A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период (δ – коэффициент затухания).

Время релаксации: τ=1/δ – промежуток времени, в течении которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз.

Логарифмический декремент затухания:

Ө=(ln A(t)/A(t+T))=δT=T/τ=1/N_e.

Добротность колебательной системы: Q=π/Ө=πN_e=π/δT₀=ω₀/2δ.

Вынужденные колебания:

1). Гармонического осциллятора под действием синусоидальной силы.

Вынужденные колебания – незатухающие колебания возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы F=F₀cosωt.

Закон движения пружинного маятника: mx”=-kx - rx’+ F₀cosωt, где –kx – сила упругости, -rv=-rx’- сила трения, F₀cosωt – вынуждающая сила.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний: x”+2δx’+ω₀²x=(F₀cosωt)/m, где δ=r/2m – коэффициент затухания, ω₀=√k/m - собственная частота.

Решение дифференциального уравнения: x=Acos(ωt-φ), где А=F₀/m√(ω₀²- ω²)²+4δ²ω²;φ=arktg(2δω/√( ω₀²- ω²).

Это частное решение неоднородного уравнения, описывающее уже установившиеся колебания. Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний вообще равно сумме общего решения однородного уравнения (x₁=A₀e^-δtcos(ω₁t+φ₁)), но оно играет существенную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колебаний) и рассмотренного выше частного решения неоднородного уравнения при установившихся колебаниях.

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы.

Резонансная частота – частота при которой амплитуда смещения достигает максимума ω_рез=√ω₀²-δ²

Резонансная амплитуда A_рез=F₀/2δm√ω₀²-δ²

2). В электрических цепях.

Вынужденные электромагнитные колебания – незатухающие колебания под действием внешней периодически изменяющейся по гармоническому закону ЭДС ε=ε_mcosωt.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

dI/dt+RI/L+Q/LC= (ε_mcosωt)/L

Q”+2δQ’+ω₀²Q=(ε_mcosωt)/L

Частное решение дифференциального уравнения, отвечающее установившимся вынужденным колебаниям заряда на обкладках конденсатора

Q=Q_mcos(ωt-α), α - сдвиг по фазе между колебаниями заряда и внешней ЭДС.

Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней ЭДС к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательного контура.

Резонансная частота – частота при которой амплитуда достигает максимального значения: ω_рез=√ω₀²-δ²=1/√LC – для тока;

ω_рез=√1/LC-R²/2L²≤ ω₀ – для заряда.

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях: I=I_m Q_mcos(ωt-φ), φ=α-π/2 – сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС.

1. Квазистационарные токи.

Переменный ток – электрический ток, величина и направление которого изменяются во времени. Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание переменного тока в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор – цепь переменного тока (к ней приложено напряжение U=U_mcosωt).

Квазистационарность переменного тока: для переменного тока мгновенные значения силы тока во всех сечениях цепи практически одинаковы, т.к. их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнитные возмущения распространяются по цепи со скоростью света. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и правила Кирхгофа.

Закон Ома для переменных токов: I=U/Z;

Z=√R²+X²=√R²+(R_L-R_C)²=√R²+(ωL-1/ωC)²

Диаграммы переменного тока:

R C L R-L-C

Правила Кирхгофа для переменного тока:

1).

2). U_C=ε_S, ε_S=-LdI/dt – ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке при протекании в ней переменного тока.

Ангармонический осциллятор

Автоколебания – незатухающие колебания, возникающие и поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Механические волны

Волна (волновой процесс) – процесс распространения колебаний в сплошной среде (среда, непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами). При распространении волны частицы среды колеблются около своих равновесных положений.

Основное свойство всех волн – перенос энергии без переноса вещества.

Основные типы волн

Признак	Типы волн	Пояснение или определение
По физической природе	Механические	ЧС (частные случаи) – упругие волны, в том числе звуковые и сейсмические. Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде.
	Волны на поверхности жидкости
	Электромагнитные	ЧС – радиоволны, свет, рентгеновское излучение и др.
По ориентации возмущений относительно направления распространения волны	Продольные	Волны, в которых частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Они могут распространятся в среде, где возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. в твердых телах, жидкостях и газах.
	Поперечные	Волны, в которых частицы среды колеблются в направлениях перпендикулярных направлению распространения волны. Они могут распространятся в среде, где возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах.
По характеру распространения	Линейные или одномерные	Волны распространяющиеся вдоль прямой линии(поперечные волны в натянутой струне, продольные волны в трубе, заполненной газом).
	Поверхностные или двумерные	Волны, распространяющиеся на границе раздела двух сред (на воде).
	Пространственные или трехмерные	Волны, распространяющиеся во всех направлениях (волны, возбуждаемые землетрясением в толще Земли).
По форме волновых поверхностей	Плоские	Волны, для которых волновые поверхности – совокупность параллельных плоскостей, перпендикулярных направлению распространения волны.
	Сферические	Волны, для которых волновые поверхности – совокупность концентрических сфер.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Уравнение плоской синусоидальной волны: ξ(x,t)=Acos(ωt –kx+ φ₀).

В комплексной форме: ξ(x,t)=Aе^{i(ωt –kx+ φ}₀⁾, где ξ(x,t) – смещение точек среды с координатой х в момент времени t, А – амплитуда волны, ω – циклическая частота, υ – фазовая скорость, φ₀ – начальная фаза колебаний, k=2π/λ=2π/υТ=ω/υ – волновое число, Т – период колебаний.

Волновое уравнение – дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде. Решение этого уравнения – уравнение любой волны.

Δξ=(1/υ²)∙(∂²ξ/∂t²), где Δ- оператор Лапласа.

Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х: ∂²ξ/∂t²=(1/υ²)∙(∂²ξ/∂t²).

Энергия волны

Волны, которые переносят в пространстве энергию, называют бегущими.

Количественной характеристикой перенесенной энергии, определяемой энергией, переносимой волнами через некоторую поверхность в единицу времени, является поток энергии: Ф=dW/dt.

Вектор Умова - вектор плотности потока энергии, количественно характеризует перенос энергии волнами. Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны (=плотности потока энергии волны): Ū=ωυ.

Модуль среднего значения вектора Умова – интенсивность волны.

Принцип суперпозиции (наложения) волн: при распространении в линейной среде нескольких волн каждая из них распространяется так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы среды, участвуя в каждом из независимых волновых процессов.

Линейной называют среду, в которой при одновременном распространении нескольких волн ее свойства не изменяются под действием возмущений, создаваемых волной.

Суперпозиция большого числа волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, занимающая в каждый момент времени ограниченную область пространства, называют волновым пакетом.

Простейшая группа волн получается при наложении двух плоских волн с одинаковыми амплитудами, близкими частотами и волновыми числами (отличается от гармонической тем, что ее амплитуда есть медленно изменяющаяся функция координаты х и времени t, т.е. является не гармонической): ξ=2Acos((tdω –xdk)/2)cos(ωt –kx).

Скоростью распространения группы волн – скорость перемещения какой-то точки, в которой амплитуда имеет фиксированное значение, например максимальное.

u=dω/dk – групповая скорость – скорость движения максимума огибающей группы волн, образующих в каждый момент времени локализованный в пространстве волновой пакет, или скорость движения центра волнового пакета.

Групповая и фазовая скорости связаны выражением: u=υ-λdυ/dλ (в недиспергирующей среде dυ/dλ=0 и групповая скорость совпадает с фазовой).

Интерференция волн – явление наложения двух или нескольких когерентных волн, при котором в разных точках пространства получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Когерентными называют волны, разность фаз которых остается постоянной во времени. Когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту.

Результат наложения волн в разных точках зависит от разности хода: Δ=r₁-r₂, где r₁ и r₂ - расстояния от источников волн до рассматриваемой точки.

Условия интерференционных максимумов и минимумов сводятся к тому, что r₁-r₂ = const.

Максимум: k(r₁-r₂)-(φ₁-φ₂)=±2mπ, m=0,1,2,…- порядок интерференционного максимума или минимума.

Минимум: k(r₁-r₂)-(φ₁-φ₂)=±(2m+1)π, m=0,1,2,…

Стоячие волны - волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн с одинаковыми частотами и амплитудами (а в случае поперечных волн и одинаковой поляризацией), распространяющихся навстречу друг другу (например при отражении).

Складываемые волны: ξ=Acos(ωt –kx),

ξ=Acos(ωt +kx).

Уравнение стоячей волны: ξ=ξ₁+ξ₂=2Acoskxcosωt=2Acos(2πx/λ)cosω.

Пучности стоячей волны – точки, в которых амплитуда стоячей волны максимальна. Это точки среды, для которых 2πx/λ=±mπ. Координаты: х_п=±mλ/2.

Узлы стоячей волны - точки, в которых амплитуда стоячей волны =0. Это точки среды, для которых 2πx/λ=±(m+1/2)π. Координаты: х_узл=±(m+1/2)λ/2.

Расстояния пучность-пучность и узел-узел =λ/2. Расстояние пучность-узел =λ/4.

В случае стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, остается постоянной. Лишь в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и обратно.

Эффект Доплера в акустике

Эффект Доплера в акустике объясняется тем, что частота колебаний, воспринимаемых приемником, определяется скоростями движения источника колебаний и приемника относительно среды, в которой происходит распространение звуковых волн (подробнее см. «Эффект Доплера для электромагнитных волн в вакууме»).

Дифференциальные уравнение электромагнитной волны

Электромагнитные волны – переменное магнитное поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью. Электромагнитные волны возникают в результате того, что переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, порождает переменное электрическое поле. Их существование вытекает из уравнений Максвклла.

Источником электромагнитных волн может быть любой КК (открытый) или проводник, по которому течет переменный электрический ток.

Описание электромагнитных волн:

скорость распространения υ=1/√ε₀μ₀∙1/√εμ=с/√εμ:

в вакууме υ=с, т.к. для вакуума ε=1 и μ=1,

в среде υ1;

поперечность: в электромагнитной волне колебания векторов напряженности переменного электрического поля и напряженности переменного магнитного поля взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны, данные векторы образуют правовинтовую систему; причем (следствие уравнений Максвелла) в электромагнитной волне векторы Е и Н всегда колеблются в одинаковых фазах.

Мгновенные значения Е и Н связаны соотношением: Е√εε₀=Н√μ₀μ.

Дифференциальные уравнение электромагнитной волны

ΔЕ=(1/υ²)∙(∂²Е/∂t²),

ΔН=(1/υ²)∙(∂²Н/∂t²), где Δ – оператор Лаплпса.

Эти уравнения – следствия уравнений Максвелла. Они отвечают однородной и изотропной среде вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле. Всякая функция, удовлетворяющая этим уравнениям, описывает некоторую волну, т.е. электромагнитные поля действительно могут существовать в виде электромагнитных волн.

Запишем данные уравнения для плоских монохроматических волн, которые описываются уравнениями: Е_у=Е_0уcos(ωt –kx+ φ),

Н_z=H_0zcos(ωt –kx+ φ):

∂²Е_у/∂х²=(1/υ²)∙(∂²Е_у/∂t²),

∂²Н_z/∂х²=(1/υ²)∙(∂²H_z/∂t²). Индексы у и z при Е и Н подчеркивают только то, что векторы Е и Н направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей у и z.

Энергия электромагнитной волны

Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей электрического и магнитного полей:

w=w_эл+ w_м=Е²εε₀/2=Н²μ₀μ/2= 2w_эл = Е²εε₀=ЕН√εε₀√μ₀μ; W=wV.

Модуль плотности потока энергии: S=wυ=ЕН.

Вектор плотности потока электромагнитной энергии – вектор Умова-Пойнтинга: S=[ЕН]. Направление данного вектора совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль =ЕН.

Вектор S направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

Излучение диполя

Процесс возбуждения электромагнитных волн какой-либо системой в окружающем пространстве называется излучением этих волн, а сама система называется излучающей системой.

Согласно представлениям классической электродинамики электромагнитные волны возбуждаются электромагнитными зарядами, движущимися с ускорением. Простейшей излучающей системой является электрический диполь, электрический момент которого меняется с течением времени; такой диполь называется осциллятором. Для линейного гармонического осциллятора: р=р₀cosωt=ql, где l – плечо диполя. Изменение электрического момента во времени может быть обусловлено тем, что либо абсолютная величина зарядов, либо плечо диполя является функцией времени.

Мгновенная мощность излучения диполя: N=(μ₀/6πc)∙|d²p/dt²|².

Для линейного гармонического осциллятора: N=μ₀ω⁴р₀²cos²ωt/(6πc).

Средняя мощность за период: N=1/T∙SNdt= μ₀ω⁴р₀²/12πc.

Диполь излучает не одинаково в различных направлениях, интенсивность излучения I~sin²υ/r². Что отражается на полярной диаграмме направленности излучения диполя (при фиксированном r изменяется υ):

Эффект Доплера (для электромагнитных волн в вакууме)

Эффект Доплера наблюдается и при движении друг относительно друга источника и приемника электромагнитных волн. Т.к. особой среды, служащей носителем электромагнитных волн, не существует, то частота, воспринимаемая приемником, определяется только относительной скоростью источника и приемника. Закономерности эффекта Доплера для электромагнитных волн устанавливаются на основе СТО.

Общая формула: ν=ν₀(√1-υ²/с²)/(1+(υ/с)cоsθ), где ν₀ и ν – соответственно частоты световых волн, излучаемых источником и воспринимаемых приемником, υ – скорость источника относительно приемника, θ – угол между вектором скорости и направлением наблюдения, измеряемый в системе отсчета, связанной с наблюдателем.

Продольный эффект Доплера: θ=0

ν=ν₀(√1-υ/с)/√(1+υ/с)

Наблюдается при движении приемника вдоль линии, соединяющей его с источником. При малых относительных скоростях υ (υ«c), пренебрегая членами второго порядка малости, ν=ν₀(1-υ/с).

При удалении источника и приемника друг от друга (при их прложительной относительной скорости) наблюдается сдвиг в более длинноволновую область (ν₀,λλ₀) – так называемое красное смещение. При сближении же источника и приемника (при их отрицательной относительной скорости)наблюдается сдвиг в более коротковолновую область (νν₀,λλ₀) – так называемое фиолетовое смещение.

Поперечный эффект Доплера: θ=π/2

ν=ν₀√1-υ²/с²

Наблюдается при движении приемника перпендикулярно линии, соединяющей его с источником. Этот эффект – эффект второго порядка малости по сравнению с продольным эффектом. Поперечный эффект имеет принципиальное значение, т.к. не наблюдается в акустике (при υ«c ν=ν₀!), и поэтому – это релятивистский эффект. Он связан с замедлением течения времени движущегося наблюдателя.

Интерференция света

(Волновая оптика – раздел оптики, изучающий совокупность явлений, в которых проявляется волновая природа света.)

Интерференция света – частный случай общего явления интерференции волн, заключающейся в пространственном перераспределении энергии светового излучения при суперпозиции когерентных волн.

Когерентность – согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Длинной когерентности называют расстояние, при прохождении которого волны утрачивают когерентность: l_ког=сτ_ког. Время когерентности τ_ког – средняя продолжительность одного цуга (когерентность существует только в пределах одного цуга, и время когерентности не может превышать времени высвечивания атома (τ_когτ)). Волновой цуг τ 10-8с – прерывистое излучение света атомами в виде отдельных коротких импульсов.

Монохроматические волны – неограниченные в пространстве волны одной определенной и строго постоянной частоты (когерентными могут быть только монохроматические воны).

Различают временнýю когерентность – когерентность колебаний, которые совершаются в одной и той же точке пространства, определяемую степенью монохроматичности волн; и пространственную когерентность - когерентность колебаний, которые совершаются в один и тот же момент времени в разных точках плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.

Интерференция в тонких пленках

Монохроматический свет от точечного источника S, падая на тонкую прозрачную плоскопараллельную пластинку, отражается двумя поверхностями этой пластинки: верхней и нижней. В любую точку Р, находящуюся с той же стороны пластинки, что и S, приходят два луча, которые дают интерференционную картину. На пластинке происходит деление амплитуды, поскольку фронты волн на ней сохраняются, меняя лишь направление своего движения. Так получают когерентные пучки света методом деления амплитуды.

Лучи 1 и 2 идущие от S к Р (т. Р на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы), порождены одним падающем лучом и после отражения от верхней и нижней поверхностей пластинки параллельны друг другу. Если оптическая разность хода 1и 2 лучей мала по сравнению с длинной когерентности падающей волны, то они когерентны, а интерференционная картина определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами:

Δ=2dncosr±λ₀/2=2dn√1-sin²r ± λ₀/2=2d√n²-sin²i ± λ₀/2, где n – показатель преломления пленки (плоскопараллельной пластинки), d – толщина пленки, i – угол падения, r – угол преломления, λ₀ – длина волны в вакууме, член ±λ₀/2 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела. При nn₀ потеря полуволны в т. О и λ₀/2 будет иметь знак минус, при nn₀ – в т. С и λ₀/2 надо брать с плюсом; m – порядок интерференции.

Условие интерференционного максимума: 2d√n²-sin²i ± λ₀/2= mλ₀, (m=0,1,2…).

Условие интерференционного минимума: 2d√n²-sin²i ± λ₀/2= (2m+1)λ₀/2.

Максимумам интерференции в отраженном свете соответствуют минимумы в проходящем, и наоборот(оптическая разность хода для проходящего и отраженного света отличается на λ₀/2).

Интерференция многих волн

При интерференции N волн, возбуждающих в т.М одинаково направленные когерентные колебания с равными амплитудами А_i=А₁ и не зависящем от i сдвигом фаз между (i+1)-м и i-м колебаниями: φ_i+1(t)-φ_i(t)=φ₀. Амплитуда результирующих колебаний А=2|ОО₁|sin(α/2) или А=А1|sin(NΔφ₀/2)/ sin(Δφ₀/2)|, а интенсивность колебаний возбуждаемых в т.М каждой из интерфирирующих волн порознь: I=A². Условие для главных максимумов: Δφ₀=±2mπ, где m=0,1,2,… – порядок главного максимума. При этом А_макс=NA₁, I_макс=N²I₁.

Условие для главных минимумов (А=0): Δφ₀=±2pπ/N, где рпринимает любые целые положительные значения, кроме кратных N. Между каждой парой соседних интерференционных минимумов находится один максимум – главный или побочный. При большом числе интерферирующих волн интенсивность побочных максимумов пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями главных максимумов.

Интерферометры

- это оптические приборы, с помощью которых можно пространственно разделить пучок света на два и большее число когерентных пучков и создать между ними определенную разность хода. Сведя эти пучки вместе, наблюдают интерференцию.

Рассмотрим устройство и принцип действия интерферометра Фабри-Перо (пример многолучевого интерферометра). Он состоит из двух стеклянных или кварцевых пластинок: Р₁ и Р₂. Их внутренние поверхности плоские, параллельны между собой, и на них нанесены зеркальные покрытия с высоким коэффициентом отражения (≈85-98%). Для устранения света, отраженного внешними поверхностями, их изготовляют так, что они составляют небольшой угол с внутренними поверхностями. Пластинки могут передвигаться в перпендикулярном друг относительно друга направлении.

Параллельный пучок света (на рисунке показан ход одного из лучей) в результате многократного отражения от зеркал образует большое число параллельных когерентных пучков с постоянной разностью хода Δ=2nhcosr между соседними пучками, но различной интенсивности. В результате многолучевой интерференции в фокальной плоскости линзы возникает интерференционная картина, представляющая собой семейство кривых равного наклона – концентрические кольца с резкими интенсивными максимумами, положение которых определяется из условия Δ=mλ, т.е. зависит от длины волны. Следовательно интерферометр Фабри-Перо разлагает сложное излучение в спектр и может применятся в качестве спектрального прибора высокой разрешающей способности (интерференционный метод контроля поверхности).

Дифракция света

Дифракция света – совокупнрсть явлений, наблюдаемых при распространении света сквозь малые отверстия, вблизи границ непрозрачных тел и т.д. и обусловленных волновой природой света.

Явление дифракции общее для всех волновых процессов имеет особенности для света: длина волны λ много меньше размеров d преград (или отверстий). Поэтому наблюдать дифракцию можно только на достаточно больших расстояниях l от преграды (l≥d²/λ).

Принцип Гюйгенса-Френеля

Световая волна, возбуждаемая источником S, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, «излучаемых» фиктивными источниками (обычно их выбирают расположенными на волновой поверхности).

Френель волновую поверхность разбил на кольцевые зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до т.М отличались на λ/2 (амплитуда колебаний в т.М: А = А₁-А₂+А₃-А₄+…).

Радиус внешней границы m-й зоны Френеля: r_m=√mabλ/(a+b), учли h_m«a.

Например, при а=b=10см, λ=500нм, r₁=0,158мм. Т.о., распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т.е. прямолинейно. Следовательно, принцип Гюйгенса-Френеля объясняет прямолинейное распространение света в однородной среде.

Дифракция Френеля (относится к случаю, когда на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся за препятствием на конечном от него расстоянии (дифракция в сходящихся лучах)) на круглом отверстии и диске.

Схема дифракции на круглом отверстии:

Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся на открытой части волновой поверхности в плоскости отверстия. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в тВ всеми зонами, А=А1/2±А_m/2 (+ - нечетные, – - четные m). Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в тВ – минимум, если нечетное – максимум.

Схема дифракции на круглом диске:

Закрытый диском участок волнового фронта надо исключить из рассмотрения и зоны Френеля строить, начиная с краев диска. Если диск закрывает m зон Френеля, то амплитуда результирующего колебания в тВ равна: А=А_m+1/2, т.е. равна половине амплитуды, обусловленной первой открытой зоной Френеля. Следовательно, в тВ всегда наблюдается максимум – светлое пятно, называемое пятном Пуассона, яркость которого с увеличением размеров диска уменьшается.

Дифракция Фраунгофера (относится к случаю, когда источник света и точка наблюдения бесконечно удалены от препятствия, вызвавшего дифракцию; для этого достаточно точечный источник света поместить в фокусе собирающей линзы, а дифракционную картину исследовать в фокальной плоскости второй собирающей линзы, установленной за препятствием (дифракция в параллельных лучах)).

Дифракция Фраунгофера на щели. Схема:

Плоская монохроматическая световая волна падает нормально плоскости щели шириной а. Параллельные пучки лучей, выходящие из щели в произвольном направлении φ (φ - угол дифракции), собираются линзой в тВ. Открытую часть волновой поверхности MN в плоскости щели разбивают на зоны Френеля, имеющие вид полос, параллельных ребру М и проведенных так, чтобы разность хода от их соответственных точек = λ/2.

Оптическая разность хода между крайними лучами MN и ND: Δ=NF=asinφ.

Число зон Френеля, умещающихся на ширине щели: Δ/( λ/2)=asinφ/( λ/2).

Условие дифракционного минимума в тВ (число зон Френеля четное): asinφ=±2m λ/2 (m=1,2,3,…).

Условие дифракционного vfrcbvevf в тВ (число зон Френеля нечетное): asinφ=±(2m+1) λ/2 (m=1,2,3,…).

Дифракция Фраунгофера на одномерной дифракционной решетке.

Одномерная дифракционная решетка – система параллельных щелей (штрихов) равной толщины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками.

Суммарная ширина щели а и непрозрачного промежутка b между щелями – есть постоянная (период) дифракционной решетки d.

Дифракционная картина на решетке – результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих от всех щелей.

Условия	Формула	Пояснения
Главные минимумы	asinφ=±mλ (m=1,2,3,…).	Наблюдается при условии, соответствующем одной щели.
Главные максимумы	dsinφ=±mλ (m=1,2,3,…). m – порядок главных максимумов	Если какие-то значения φ одновременно удовлетворяют условиям главных максимумов и минимумов, то главные максимумы, отвечающие этим направлениям не наблюдаются (если а=d/3, то каждый третий главный максимум не наблюдается (рис. А)).
Дополнительные минимумы	dsinφ=±m`λ/N (m=1,2,3,…, m`#0,N,2N,…), N – число щелей дифракционной решетки	Между каждыми двумя главными максимумами находится N-1 дополнительных минимумов. Имеют место также N-2 дополнительных максимумов, интенсивность которых ничтожна по сравнению с главными максимумами.

Разрешающая способность оптических приборов.

Вследствие того что свет имеет волновую природу, создаваемое оптической системой (даже идеальной!) изображение точечного источника не является точкой, а представляет собой светлое пятнышко, окруженное чередующимися темными и светлыми кольцами (в случае монохроматического света) или радужными кольцами (в случае белого света). Следовательно, принципиально неустранимое явление дифракции (на оправе объектива) задает предел возможной разрешающей способности оптических приборов – способности оптических приборов давать реальное изображение двух близких друг к другу точек предмета.

Разрешающая способность объектива: R=1/δψ, где δψ – наименьшее угловое расстояние между двумя точками, при котором они еще оптическим прибором разрешаются.

Дифракция на пространственной решетке.

Пространственная решетка – пространственные образования, в которых элементы структуры подобны по форме, имеют геометрически правильное и периодически повторяющееся расположение, а также размеры, соизмеримые с длиной волны электромагнитного излучения. Т.е. подобные пространственные образования должны иметь периодичность по трем не лежащим в одной плоскости направлениям. В качестве пространственных решеток могут быть использованы кристаллы. Расстояние между атомами в кристалле (≈10^-10м) таково, что на них может наблюдаться дифракция рентгеновского излучения (λ≈10^-12 – 10^-8м), т.к. для наблюдения дифракционной картины необходима соизмеримость постоянной решетки с длиной волны падающего излучения.

Схема дифракции рентгеновского излучения на кристалле: пучок монохроматического рентгеновского излучения падает на поверхность кристалла под углом скольжения θ (угол между падающим лучом и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн, интерферирующих между собой. Результат интерференции волн определяется их разностью хода 2dsinθ. Дифракционные максимумы наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны находятся в одинаковой фазе – в направлениях, определяемых формулой Вульфа-Бреггов: 2dsinθ=mλ, где d – межплоскостное расстояние, m=1,2,3 …

Понятие о голографии.

Обычный фотографический метод получения изображений объектов основан на регистрации с помощью фотопластинки различий в интенсивности света, рассеиваемого разными малыми элементами объекта. Более совершенным является стереоскопический снимок, однако и в этом случае мы не можем видеть того, что было закрыто во время съемки предметом, находящемся на переднем плане, - не можем «заглянуть за этот предмет».

Английский физик Д. Габор (1948) высказал идею принципиально нового метода получения объемных изображений объектов. Он предложил регистрировать с помощью фотопластинки не только амплитуды (интенсивности), но и фазы рассеянных объектом волн, воспользовавшись для этого явлением интерференции волн. Таким способом можно получить и зарегистрировать на фотопластинке значительно более подробную информацию об объекте, нежели путем обычного фотографирования. Свой метод Габор назвал голографией. Интерференционную картину, зафиксированную на фотопластинке после ее проявления, называют голограммой объекта. Голограмма не имеет внешнего сходства с объектом. Она представляет собой очень мелкий и замысловатый узор из чередующихся малых областей различного почернения эмульсии. Для получения изображения голограмму, как диапозитив, необходимо просветить такой же световой волной, что использовалась для получения голограммы. Эта световая волна дифрагирует на голограмме, в результате чего наблюдаются два объемных изображений объекта: мнимое (находится в том же месте, где помещался объект, видно при наблюдении сквозь голограмму) и действительное («висит в воздухе» перед голограммой и является зеркальным изображением объекта). Если голограмма разбилась, то с помощью ее осколка можно восстановить изображение объекта, т.к. интерференционная картина в каждой точке голограммы определяется светом, рассеянным всеми точками объекта.

Ю.Н. Денисюк впервые (1962) получил объемные голограммы, используя для этого толстослойные фотоэмульсии. Такие голограммы ведут себя подобно пространственным дифракционным решеткам. Они способны выделять из белого света свет той длины волны или тех нескольких длин волн (для цветных изображений), который был использован при получении голограммы, поэтому для получения изображения ее достаточно осветить белым светом.

Голография используется: надежные и емкие системы памяти ЭВМ, систем поиска и кодирования информации, создания систем стереоскопического цветного голографического кино и телевидения.

Дисперсия света.

Дисперсия света – зависимость фазовой скорости света в среде от его частоты (υ=c/n, следовательно показатель преломления среды n оказывается зависящем от частоты ν).

Различают:

Нормальную дисперсию: n уменьшается с увеличением λ; dn/dν 0 или dn/dλ

Аномальную дисперсию: n увеличивается с уменьшением λ (наблюдается вблизи полос поглощения вещества); dn/dν dn/dλ0.

Дисперсия показателя преломления: показывает как быстро изменяется показатель преломления n с длиной волны λ; D= dn/dλ.

Элементарная теория дисперсии.

Согласно классической электронной теории, дисперсия света – результат взаимодействия электромагнитных волн с заряженными частицами вещества, совершающими вынужденные колебания в переменном электромагнитном поле волны.

В оптической области спектра для веществ μ≈1. Формально дисперсия света – следствие зависимости n от частоты ω световых волн. Абсолютный показатель преломления среды n=√εμ=√ε.

Задача дисперсии сводится к определению смещения x электрона под действием поля Е: n²=1+n₀ex/ε₀Е, где n₀ – концентрация атомов среды, e – заряд электрона, ε₀ – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость вещества.

Поглощение света веществом.

Поглощение света – явление уменьшения энергии световой волны при ее распространении в веществе вследствие преобразования энергии волны в другие виды энергии.

Закон Бугера-Ламберта: I=I₀e^-kx.

Закон Бугера-Ламберта для монохроматического света: I=I₀e^-k_λ^x, где I и I₀ – интенсивности плоской волны монохроматического света на входе и выходе слоя поглощающего вещества толщиной х, k – натуральный показатель поглощения (зависит от длины волны, химической природы и состояния поглощающего вещества), k_λ – монохроматический натуральный показатель поглощения.

Излучение Вавилова-Черенкова.

Излучение Вавилова-Черенкова – излучение света заряженными частицами, возникающее при движении в среде с постоянной скоростью V, превышающей фазовую скорость υ в этой среде, т.е. при условии Vυ=c/n. Наблюдается для всех прозрачных жидкостей, газов и твердых тел.

Обоснование возможности существования излучения Вавилова-Черенкова: согласно электромагнитной теории, заряженная частица, например электрон, излучает электромагнитные волны лишь при ускоренном движении. Тамм и Франк показали, что это справедливо только до тех пор, пока скорость V заряженной частицы не превышает фазовой скорости υ=c/n электромагнитных волн в среде, в которой частица движется. По Тамму и Франку, если скорость электрона, движущегося в прозрачной среде, превосходит фазовую скорость света в данной среде, электрон излучает свет.

Излучение распространяется не по всем направлениям, а лишь по тем, которые составляют острый угол с траекторией частицы (вдоль образующих конуса, ось которого совпадает с направлением скорости частицы).

Эффект Доплера при движении источника света в среде.

Поляризация света.

Поляризация света – совокупность явлений волновой оптики, в которых проявляется поперечность электромагнитных световых волн (согласно теории Максвелла, световые волны поперечны: векторы напряженностей электрического и магнитного полей световой волны взаимно перпендикулярны и колеблются перпендикулярно вектору скорости распространения волны (перпендикулярно лучу)). Поскольку вектор Е перпендикулярен Н, для поляризации достаточно исследовать поведение лишь одного из них, а именно вектора Е, который называется световым вектором.

Поляризованным называют свет, в котором направления колебаний светового вектора каким-то образом упорядочены; а естественный свет – свет со всевозможными равновероятными направлениями колебаний светового вектора.

Различают частично поляризованный свет, плоско(линейно)поляризованный и эллиптически поляризованный (наиболее общий тип поляризованного света).

Плоскополяризованный свет получают, пропуская естественный свет через поляризаторы Р, в качестве которых используют среды, анизотропные в отношении колебаний вектора Е (кристаллы, например турмалин). Поляризаторы пропускают колебания, параллельные главной плоскости поляризатора, и полностью или частично задерживают колебания, перпендикулярные ей. Для анализа плоскополяризованного света используют те же поляризаторы; они здесь называются анализаторами.

Интенсивность света, прошедшего последовательно через поляризатор и анализатор, пропорциональна квадрату косинуса угла между их главными плоскостями – закон Малюса: I=I₀cos²α, где I₀ – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; I – интенсивность света, вышедшего из анализатора.

Поляризация света при отражении и преломлении.

Явление поляризации света – выделение световых волн с определенными направлениями колебаний электрического вектора – наблюдается при отражении и преломлении света на границе прозрачных изотропных диэлектриков.

Если угол падения естественного света на границу раздела, например воздуха и стекла, отличен от нуля, то отраженный и преломленный лучи частично поляризованы. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения, в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения. Степень поляризации зависит от угла падения. При угле падения естественного света на границу прозрачных изотропных диэлектриков, равном углу Брюстера i_В, определяемого соотношением tgi_B=n₂₁, отраженный луч полностью поляризован, преломленный же луч поляризован максимально, но не полностью (n₂₁ – показатель преломления второй среды относительно первой).

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

1. Тепловое излучение. Характеристики.

Тепловое излучение – свечение тел, обусловленное нагреванием.

Спектральная плотность энергетической светимости – энергия излучаемая с единицы площади поверхности тела в единицу времени в интервале частот единичной ширины.

Спектральная поглощательная способность – показывает, какая доля энергии, приносимой за единицу времени на единицу площади поверхности тела падающим на нее электромагнитными волнами с частотами от ν до ν+dν, поглощается телом.

Энергетическая светимость тела (суммирование производится по всем частотам или длинам волн):

Закон Кирхгофа отношение спектральной плотности энергетической светимости к спектральной поглощательной способности не зависит от природы тела; оно является для всех тел универсальной функцией частоты (длины волны) и температуры. R_ν,T/A_ν,T=r_ν,T, r_ν,T - универсальная функция Кирхгофа (спектральная плотность энергетической светимости черного тела).

ЧТ – тело способное поглощать полностью при любой температуре все падающее на него излучение любой частоты.

Энергетическая светимость ЧТ (зависит только от температуры):

Законы излучения ЧТ

Закон	Формулировка закона	Формула	Постоянная
Закон Стефана-Больцмана	Энергетическая светимость ЧТ пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры.	Re=σT4	σ=5,67*10-8Вт/(м2*К4) постоянная Стефана-Больцмана
Закон смещения Вина	Длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости ЧТ, обратно пропорциональна его термодинамической температуре.	λmax=b/T	b=2,9*10-3м*К постоянная Вина

Экспериментальные кривые подтверждают выводы закона смещения Вина: происходит смещение максимума по мере возрастания температуры в область коротких длин волн (или в область больших частот).

Формулы Релея-Джинса и Вина

Формула	Спектральная плотность энергетической светимости ЧТ	Замечания
Формула Релея-Джинса		Дает правильное спектральное распределение лишь при малых частотах (hν«кТ); при больших ν – резкое расхождение с опытом и законом смещения Вина
Формула Вина		«Работает» только при больших частотах (hν››кТ).

Квантовая гипотеза и формула Планка

Квантовая гипотеза Планка: излучение и поглощение света происходит не непрерывно, а дискретно, т.е. определенными порциями (квантами), энергия которых определяется частотой ν: ε=hν.

Формула Планка для универсальной функции Кирхгофа (формула блестяще согласуется с опытом по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот (длин волн) и температур)

в переменных ν, Т:

в переменных λ, Т:

Вывод из формулы Планка закона Вина

Вывод из формулы Планка закона Стефана-Больцмана

Выводы: формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом.

Оптическая пирометрия.

Температура	Определение	Определяющие формулы	Пояснения
Радиационная Тр	Температура ЧТ, при котрой его энергетическая светимость Rе равна энергетической светимости Rт исследуемого тела.	Rе=σT4 Rт=σT4 Тр=4√Rт/σ	Радиационная температура Тр всегда меньше его истинной температурыТ.
Цветовая Тц	Температура ЧТ, при котрой распределение энергии в спектре излучения исследуемого тела такое же, как в спектре ЧТ при тойже температуре	Тц=b/ λmax	В случае серого тела Rλ,Тя=Атrλ, где Ат=const. Поэтому распределение энергии в спектре Черного и серого тел одинаково, и можно применять закон смещения Вина. Для серых тел (или близких к ним по свойствам) цветовая температура совпадает с истинной.
Яркостная Тя	Температура ЧТ, при котрой для определенной длины волны его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела.	rλ,Тя=Rλ,Т	По закону Кирхгофа для исследуемого тела для длины волны λ имеем Rλ,Т/Атλ= rλ,Т. Т.к. для нечерных тел Аλ,Тя=rλ,Т, т.е. Тя

Где Т – истинная температура тела, R_е – энергетическая светимость черного тела, r_λ,Т – спектральная плотность энергетической светимости ЧТ, R_λ,Т – спектральная плотность энергетической светимости тела, А_λ,Т – спектральная поглощательная способность тела, b – постоянная Вина.