Длина окружности

Тема урока: ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ.

Цели урока:

Вывести формулу для вычисления длины окружности;
Научить учащихся решать задачи на применение формулы длины окружности

Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим её, то получим отрезок АА 1 , длина которого и есть длина окружности.

Чтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим её, то получим отрезок АА 1 , длина которого и есть длина окружности.

А1

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближенное значение. Точное значение длины окружности – это предел, к которому стремиться периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближенным значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближенное значение. Точное значение длины окружности – это предел, к которому стремиться периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Выведем формулу, выражающую длину окружности через её радиус. Пусть С и С 1 – длины окружностей радиусов R и R 1 . Впишем в каждую из них правильный n -угольник и обозначим через P n и P n1 их периметры. Используя формулу, получаем:

Выведем формулу, выражающую длину окружности через её радиус. Пусть С и С 1 – длины окружностей радиусов R и R 1 . Впишем в каждую из них правильный n -угольник и обозначим через P n и P n1 их периметры. Используя формулу, получаем:

P n =n x a n =n x 2R x sin180/n,

P n 1=n x a n 1 =n x 2R 1 x sin180/n.

Следовательно,

P n /P1 n =2R/2R 1 (1)

Это равенство будет выполнятся при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n . Так как P C, P 1 C 1 при n, то предел отношения Pn/P 1 n равен C/C 1 . C другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R/2R 1 . Таким образом, C/C 1 = 2R/2R 1 . Из этого равенства следует, что C/2R=C 1 /2R 1 , т.е. отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать буквой П.

Это равенство будет выполнятся при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n . Так как P C, P 1 C 1 при n, то предел отношения Pn/P 1 n равен C/C 1 . C другой стороны, в силу равенства (1) этот предел равен 2R/2R 1 . Таким образом, C/C 1 = 2R/2R 1 . Из этого равенства следует, что C/2R=C 1 /2R 1 , т.е. отношение длины окружности к её диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать буквой П.

Из равенства C/2R= П получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R :

Из равенства C/2R= П получаем формулу для вычисления длины окружности радиуса R :

C=2 П R .

Доказано, что П является бесконечной непериодической десятичной дробью, т.е. иррациональным числом. Рациональное число 22 / 7 является приближенным значением П с точностью до 0,002. Это приближенное значение было найдено ещё в III в. до н.э. великим греческим учёным Архимедом. При решении задач обычно пользуются приближенным значением П с точностью до 0,01 : П=3,14.

Выведем теперь формулу для вычисления дуги l окружности с градусной мерой а. Так как длина всей окружности равна 2П R , то длина дуги в 1 градус равна 2П R/360= П R/180. Поэтому длина l выражается формулой: L= П R x а /180.

Выведем теперь формулу для вычисления дуги l окружности с градусной мерой а. Так как длина всей окружности равна 2П R , то длина дуги в 1 градус равна 2П R/360= П R/180. Поэтому длина l выражается формулой:
L= П R x а /180.